Übergangsmatrix bei Fröschen

Question

Aufgabe:

Ein Frosch legt nach der Befruchtung 80 Eier. Pro Zeitschritt überleben nur 5\% der Eier und entwickeln sich zu Kaulquappen, von denen sich wiederum \( 25 \% \) zu Fröschen entwickeln. \( \mathrm{Zu} \) Beginn der Beobachtung gibt es 800 Eier, 40 Kaulquappen und 20 Frösche.

a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen und bestimmen Sie die Übergangsmatrix M.

b) Begründen Sie, dass die Population sich zyklisch entwickelt. Wie groß ist die Zykluslänge?

c) Berechnen Sie die Populationsentwicklung über 5 Zeitschritte.

d) Gibt es eine Anfangspopulation, bei der sich die Anzahl der Eier, Kaulquappen und Frösche nicht ändert?

e) Bestimmen Sie die Entwicklung der Population bei unverändertem Anfangsbestand über 6 Zeitschritte, wenn sich aus \( 50 \% \) der Eier Kaulquappen entwickeln, von denen jedoch nur \( 10 \% \) sich zu Fröschen entwickeln.

Problem/Ansatz:

Komme gar nicht weiter. Kann jemand bitte helfen?

Comments

WO kommst du nicht mehr weiter?

Wie sieht dein Übergangsgraph aus?

Answer 1

b) Begründen Sie, dass die Population sich zyklisch entwickelt. Wie groß ist die Zykluslänge?

Ein Frosch legt 80 Eier
Aus 80 Eiern werden 80·0.05 = 4 Kaulquappen
Aus 4 Kaulquappen wird 4·0.25 = 1 Frosch
Mit dem Frosch beginnt der Zyklus erneut.

Die Zyklenlänge ist also 3.

Comments

Zu Beginn der Beobachtung gibt es 800 Eier, 40 Kaulquappen und 20 Frösche.

Ein Zeitschritt später sind es dann 30 Frösche...

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Ein Zeitschritt später sind es dann 30 Frösche...

Wie kommst du denn darauf?

[0, 0, 80; 0.05, 0, 0; 0, 0.25, 0]·[800; 40; 20] = [1600; 40; 10]

Also 10 Frösche.

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Wie kommst du denn darauf?

[0, 0, 80; 0.05, 0, 0; 0, 0.25, 0]·[800; 40; 20] = [1600; 40; 10]

Also 10 Frösche.

Stehen in der Aufgabe irgendwelche Informationen, dass die "Startfrösche" inzwischen verschwunden sind???

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b) Begründen Sie, dass die Population sich zyklisch entwickelt. Wie groß ist die Zykluslänge?

Gäbe es, wenn die Startfrösche nicht sterben eine zyklische Entwicklung. Wohl kaum. Also denkt mal nach.

Es steht dort auch nicht, dass die Frösche unendlich lang überleben.

MERKE: Bei der Aufgabenstellung "Begründen Sie, dass die Population sich zyklisch entwickelt." ist es unstrittig, dass sich die Population zyklisch entwickelt. Man soll es nur begründen.

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Ein Frosch legt nach der Befruchtung 80 Eier

Sind das nicht eher die Fröschinnen ?

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Ein Frosch legt nach der Befruchtung 80 Eier

Sind das nicht eher die Fröschinnen ?

Spam ist hier nicht angebracht. Wenn Ihr Schulbuchaufgaben verbessern wollt, dann meldet Euch beim nächsten Schulbuchverlag, aber irritiert nicht die armen Schüler die ohnehin schon Probleme mit solch nicht korrekt formulierten Aufgaben haben. Damit helft ihr keinem. Wenn ihr Spaß habt dann korrigiert die Aufgabenstellung gerne und schreibt sie in den Kommentar. Ich werde den Spam demnächst ausblenden.

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Es handelt sich in keiner Weise um Spam, sondern um die mMn höchst berechtigte Frage, ob denn nicht in der Rechnung irgendwo der Faktor 1/2 aufzutreten habe.

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In ähnlichen Aufgaben steht das durchschnittlich jeder Frosch 80 Eier legt. In anderen Aufgaben, dass nur die weibliche Population betrachtet wird. Vielleicht ist es auch eine rein fiktive Froschpopulation in der alle Frösche gleichberechtigt sind und natürlich auch die männlichen Frösche Eier legen können.

Ich wiederhole mich ungerne. Aus der Aufgabenstellung geht ausdrücklich hervor, dass die Population zyklisch sein soll. Das wär sie nicht, wenn man den Faktor 1/2 einpflegt.

Also bitte gerne die Aufgabe verbessern und als Kommentar einstellen für die, die zu viel Zeit haben.

Answer 2

a) Eine solche Übergangsmatrix hat im Allgemeinen die Struktur

\(\begin{pmatrix}0 & 0 & x\\y & 0 & 0\\ 0 & z & 0\end{pmatrix}\).

b) Eine Population entwickelt sich dann zyklisch, wenn \(x\cdot y\cdot z=1\) gilt.

c) Allgemein gilt \(\vec{v}_n=M^n\vec{v_0}\), wenn \(\vec{v_0}\) die Anfangsverteilung und \(M\) die Übergangsmatrix ist.

d) Gesucht ist eine Verteilung \(\vec{v}\) mit \(\vec{v}=M\vec{v}\), also ein sogenannter Fixvektor. Dazu kann man das Gleichungssystem \((M-E)\vec{v}=0\) lösen, wobei \(E\) die passende Einheitsmatrix ist.

e) Passe deine Matrix entsprechend an und nutze die Formel aus Teil c).