Wie kommt man zur Lösung dieses linearen Gleichungssystems mithilfe des Gauß-Algorithmus?

Question

Aufgabe:

die Lösungsmenge für die lineare Gleichung bestimmen

1·x1 + 2·x2 – 1·x3 + 3·x4 = 5

3·x1 + 5·x2 – 1·x3 = -2

2·x1 + 3·x2 – 3·x4 = -7

4·x1 – 4·x2 + 2·x3 = 8

Problem/Ansatz:

ich habe die Lösung und eine Antwort für diese Aufgabe, aber ich verstehe nicht, warum einige Schritte auf bestimmte Weise gemacht wurden, und ich kann nicht selbst zu dem richtigen Ergebnis kommen. Deshalb brauche ich Hilfe.

(Die Lösungsmenge ist x1 = 3 − a, x2 = −13/3+5/3a, x3 = −32/3+16/3a, x4 = a, a ∈ R)

Comments

Es gibt bei solchen Aufgaben keinen eindeutigen Rechenweg. Du musst uns also schon sagen, welche Schritte du nicht verstehst. Du könntest natürlich auch deinen eigenen Versuch liefern, damit man schauen kann, was bei dir nicht richtig klappt.

Answer 1

Ich benutze x1 = a ; x2 = b ; x3 = c und x4 = d, weil es einfacher zu schreiben und ich denke auch zu verstehen ist.

1·a + 2·b - 1·c + 3·d = 5
3·a + 5·b - 1·c = -2
2·a + 3·b - 3·d = -7
4·a - 4·b + 2·c = 8

II ; III + I ; IV/2

3·a + 5·b - c = -2
3·a + 5·b - c = -2
2·a - 2·b + c = 4

II ist linear abhängig zu I. Dadurch bekommt man ein Freiheitsgrad z.B. c

3·a + 5·b = c - 2
2·a - 2·b = 4 - c

3*II - 2*I

- 16·b = 16 - 5·c --> b = 5/16·c - 1

2·a - 2·(5/16·c - 1) = 4 - c --> a = 1 - 3/16·c

1·(1 - 3/16·c) + 2·(5/16·c - 1) - 1·c + 3·d = 5 --> d = 3/16·c + 2

Jetzt können wir für c = 16·t einsetzen

a = 1 - 3·t
b = 5·t - 1
c = 16·t
d = 3·t + 2

Meine Lösung ist abweichend, weil ich in Abhängigkeit von c gelöst habe. Löst man in Abhängigkeit von d bekommt man

a = 3 - d
b = 5/3·d - 13/3
c = 16/3·d - 2/3

Ich verzichte darauf, das d durch das t zu ersetzen.

Es war hier sehr zweckmäßig, gleich zuerst das d zu eliminieren. Wenn man das handschriftlich macht, gibt es dort einen Rechenvorteil.

Comments

Ich benutze x1 = a ; x2 = b ; x3 = c und x4 = d, weil es einfacher zu schreiben und ich denke auch zu verstehen ist.

Sehr gute Idee. Das mache ich auch immer, weil zusätzliche Fehlerquelle.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Anwendung des Gauß-Verfahrens schreibst du das Gleichungssystem zuerst in Form einer Tabelle auf:$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Rechen-Operation}\\\hline1 & 2 & -1 & 3 & 5 & \\3 & 5 & -1 & 0 & -2 & \\2 & 3 & 0 & -3 & -7 &\\4 & -4 & 2 & 0 & 8\end{array}$$

Nun führst du elementare Gauß-Operationen durch, d.h.

1) Multiplikation / Division einer Zeile mit einer Konstanten

2) Addition / Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu / von einer anderen Zeile

Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Zahl ungleich Null (am besten einer Eins) bestehen.

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Rechen-Operation}\\\hline1 & 2 & -1 & 3 & 5 & \\3 & 5 & -1 & 0 & -2 & -3\cdot\text{Zeile 1} \\2 & 3 & 0 & -3 & -7 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\4 & -4 & 2 & 0 & 8 & -4\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & -1 & 3 & 5 &\\0 & -1 & 2 & -9 & -17 &\cdot(-1)\\0 & -1 & 2 & -9 & -17 &-\text{Zeile 2}\\0 & -12 & 6 & -12 & -12 &\div6\\\hline1 & 2 & -1 & 3 & 5 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & 9 & 17 & \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & -2 & 1 & -2 & -2 & +2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 3 & -15 & -29 &+\text{Zeile 4}\\0 & 1 & -2 & 9 & 17 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & -3 & 16 & 32 &\div(-3)\\\hline1 & 0 & 0 & 1 & 3 &\\0 & 1 & -2 & 9 & 17 &+2\cdot\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & -\frac{16}{3} & -\frac{32}{3} &\\[-2ex]\\\hline\pink1 & 0 & 0 & 1 & 3 & \Rightarrow \pink{x_1}+x_4=3\\0 & \pink1 & 0 & -\frac53 & -\frac{13}{3} & \Rightarrow \pink{x_2}-\frac53x_4=-\frac{13}{3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & \pink1 & -\frac{16}{3} & -\frac{32}{3} & \Rightarrow\pink{x_3}-\frac{16}{3}x_4=-\frac{32}{3}\end{array}$$

Unterwegs in der Rechnung hat sich eine Null-Zeile ergeben, die natürlich stets erfüllt ist. Wir stellen die erhaltenen Gleichungen nach den pinken Variablen um:$$\pink{x_1}=3-x_4\quad;\quad\pink{x_2}=-\frac{13}{3}+\frac53x_4\quad;\quad \pink{x_3}=-\frac{32}{3}+\frac{16}{3}x_4$$und schreiben alle möglichen Lösungen auf:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-x_4\\[1ex]-\frac{13}{3}+\frac53x_4\\[1ex]-\frac{32}{3}+\frac{16}{3}x_4\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[1ex]-\frac{13}{3}\\[1ex]-\frac{32}{3}\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\[1ex]\frac53\\[1ex]\frac{16}{3}\\1\end{pmatrix}\quad;\quad x_4\in\mathbb R$$

Das entspricht der angegebenen Lösung.

Uns gefällt die Lösung aber wegen der Brüche noch nicht. Da $x_4\in\mathbb R$ völlig frei gewählt werden darf, können wir es z.B. durch $(3s-1)$ ersetzen, wobei wir $s\in\mathbb R$ wieder völlig frei wählen dürfen. Das führt dann zu einer Lösung ohne Brüche:

$$\vec x=\begin{pmatrix}3\\[1ex]-\frac{13}{3}\\[1ex]-\frac{32}{3}\\0\end{pmatrix}+(3s-1)\begin{pmatrix}-1\\[1ex]\frac53\\[1ex]\frac{16}{3}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[1ex]-\frac{13}{3}\\[1ex]-\frac{32}{3}\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\[1ex]\frac53\\[1ex]\frac{16}{3}\\1\end{pmatrix}+3s\begin{pmatrix}-1\\[1ex]\frac53\\[1ex]\frac{16}{3}\\1\end{pmatrix}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}4\\-6\\-16\\-1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\5\\16\\3\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$