Bildfälschungen, Experten und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Question

Aufgabe:

Auf der Suche nach einer profitablen Geldanlage kommt ein Investor auf die Idee, in Gemälde zu investieren. Er geht zusammen mit einem Experten auf eine Kunstausstellung, auf der 12 Gemälde angeboten werden, von denen 2 Fälschungen sind. Der Investor wählt zufällig eines der 12 Bilder und lässt seinen Begleiter schätzen, ob es sich um ein Original oder eine Fälschung handelt. Dieser beurteilt - unabhängig davon, ob es sich um ein Original oder eine Fälschung handelt - mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8 ein gegebenes Bild korrekt.

(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schätzt der Experte das vom Investor ausgesuchte Bild als Fälschung ein?

(ii) Sagt der Experte, das Bild sei eine Fälschung, so wählt der Investor zufällig ein anderes Bild aus und kauft es. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um eine Fälschung?

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier bei i) und ii) Die Wahrscheinlichkeiten habe ich aufgestellt, ob die so richtig sind weiß ich nicht.

Text erkannt:

Nr. 2 Cl
o: Das Bild ist ein Original
F: Das Bild ist eine Falschung
K: Der Experte schätzt das Bild korrekt als fälschung ein
\( K^{c} \) : Der experte schätzt das Bild fälschlicherweise als Fälschung ein
\( P(0)=\frac{10}{12}=\frac{5}{6} \)
\( P(F)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)
\( P(K \mid F)=0.8 \)
\( P\left(K^{c} \mid 0\right)=0.2 \)

Answer 1

Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass das Bild als Fälschung \(A\) eingeschätzt wird. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt

\(P(A)=P(A|F)P(F) + P(A|O)P(O)\).

Bei deiner Definition von \(K\) würde ich allerdings das "korrekt" rausnehmen, denn sonst hast du damit bereits eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil du voraussetzt, dass Bild schon eine Fälschung ist. Hier kann auch eine Vierfeldertafel hilfreich sein.

Kontrolle: \(P(A)=0,3\)

Für ii) bietet sich ein Baumdiagramm an. Für die erste Stufe muss man aber erst einmal wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass es sich um ein Original oder eine Fälschung handelt, wenn der Experte sagt, es handle sich um eine Fälschung. Wir brauchen also erst einmal \(P(O|A)\) bzw. \(P(F|A)\). Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich bspw. mit dem Satz von Bayes berechnen.

Kontrolle: \(P(O|A)=\frac{5}{9}\), \(P(F|A)=\frac{4}{9}\).

Das wären dann die Wahrscheinlichkeiten für die erste Stufe. Für die zweite Stufe betrachten wir dann einfach die übrigen Bilder, so dass wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit Folgendes erhalten:

\(P(\text{zweites Bild ist eine Fälschung}|A)=P(O|A)\cdot \frac{2}{11} + P(F|A)\cdot \frac{1}{11}\).

Kontrolle: \(P(\text{zweites Bild ist eine Fälschung}|A)=\frac{14}{99}\).

Answer 2

i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schätzt der Experte das vom Investor ausgesuchte Bild als Fälschung ein?

P = 2/12·0.8 + 10/12·0.2 = 0.3

ii) Sagt der Experte, das Bild sei eine Fälschung, so wählt der Investor zufällig ein anderes Bild aus und kauft es. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um eine Fälschung?

P = (2/12·0.8·1/11 + 10/12·0.2·2/11) / (2/12·0.8 + 10/12·0.2) = 14/99

Comments

Ich hab das ganz primitiv über ein Baumdiagramm mit Pfadregeln gerechnet. Schaffst du es dir selber den Wahrscheinlichkeitsbaum aufzuzeichnen?

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Nenn den Baum nicht abfällig primitiv,

wer ihn benutzt, liegt man selten schief.

Es ist so anschaulich und so klar,

mit einem Wort: ich find ihn wunderbar. :)