Steckbriefaufgabe. Funktion 4. Grades. Koeffizientenvergleich

Question

Gesucht ist die Gleichung einer Funktion 4. Grades, deren zweite Ableitungsfunktion durch f´´(x) = x² - 4 gegeben ist. Der Graph von f hat auf der Ordinatenachse ein relatives Maximum und schneidet die Abszissenachse bei x = -2

Answer 1

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

 

f''(x) = x² - 4 | => 12a = 1; 6b = 0; 2c = -4 | a = 1/12 ; b = 0 ; c = -2

 

f(x) = 1/12 * x⁴ - 2x² + dx + e

f'(x) = 1/3 * x³ - 4x + d

f''(x) = x² - 4

f'''(x) = 2x

 

f'(0) = 0 | => d = 0

f(-2) = 0 = 16/12 - 8 + e |

e = -16/12 + 96/12 = 80/12 = 20/3

 

f(x) = 1/12 * x⁴ - 2x² + 20/3

 

 

Besten Gruß