Zeigen Sie, dass G(x)= (10x-150)*e^{x-10/5} eine Stammfunktion von G ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Insel.

Question

In Dubai werden im Meer künstliche Inseln aufgeschüttet. Die Küsten einer Insel werden (wie abgebildet) durch die Funktionen f (Strand) und g (Wohnen) beschrieben. (1 LE = 100 m)

\( f(x)= -\frac{1}{8}x²+x \)

\( g(x)= (2x-20) * e^{x-10/5} \)

a) Zeigen Sie, dass \( G(x)=(10 x-150) \cdot e^{\frac{x-10}{5}} \) eine Stammfunktion von G ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Insel.

b) Welche maximale Nord-Süd-Ausdehnung hat der untere Teil der Insel, d.h. das Wohngebiet?

Answer 1

das Bild war auch vonnöten. Die Insel scheint mir reichlich
mißraten zu sein da rechts sich die beiden Funktionen gar nicht schneiden.
Aber was soll´s.

a.) die Stammfunktion hat dir der Mathcoach schon bewiesen.

Flächeninhalt der Insel

Oberer Teil
f ( x ) = -1/8 * x^2 + x
Stammfunktion
F ( x ) = -1/8 * x^3 / 3 + x^2 / 2
F ( x ) = -1/24 * x^3 + x^2 / 2
Schnittpunkte mit der x-Achse
-1/8 * x^2 + x = 0
x * ( -1/8 * x + 1 ) = 0
x = 0
-1/8 * x + 1 = 0
x = 8
Jetzt kannst du den oberen Teil berechnen
A (oben) = F ( 8 ) - F ( 0 ) wobei F ( 0 ) entfällt.
Der Wert wäre mit 10000 zu multiplizieren damit m^2 herauskommt.

Unterer Teil
G ( x ) = ( 10 * x - 150 ) * e^{0.2*x-2}
Schnittpunkt rechts mit der x-Achse
g ( x ) = 0
( 2 * x - 20 ) * e^{0.2*x-2} = 0
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens einer der Faktoren
null ist. Die e-Funktion ist immer ungleich null. Also
2 * x - 20 = 0
x = 10
A ( unten ) = G ( 10 ) - G ( 0 )
Der Wert wäre mit 10000 zu multiplizieren damit m^2 herauskommt.

Beide Flächen A ( oben ) und A ( unten ) sind zu addieren.

b.)
Hier wird nach Minimum / Extremwert der Funktion g ( x ) gefragt
g ´( x ) = 2 * e^{0.2*x-0.2} + ( 2 * x - 20 ) * e^{0.2*x-0.2} * 0.2
g ´( x ) = e^{0.2*x-0.2} * [ 2 + ( 2 * x - 20 ) * 0.2 ]
g ´( x ) = e^{0.2*x-0.2} * [ 2 + 0.4 * x - 4 ]
g ´( x ) = e^{0.2*x-0.2} * [ 0.4 * x - 2 ]
Extremwert
g ´( x ) = 0 =>
0.4 * x - 2 = 0
0.4 * x = 2
x = 5
g ( 5 ) = ( 2 * 5 - 20 ) * e^{0.2*5-2} = -3.68
Max Nord-Süd = 368 m

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Bei der a muss es doch am Ende durch 10.000 geteilt werden oder?

LG

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Ich habe die Aufgabe gerade kurzfristig überflogen.

1 LE = 100 m

Es wurde in LE gerechnet. Um auf m^2 zu kommnen muß mit
10000 malgenommen werden.

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Danke:) Aber was heißt es wurde in Längeneinheiten gerechnet? Wenn dem so wäre müsste ich doch gar nichts mehr umrechnen..ich dachte es wurde in cm gerechnet...

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Bitte einmal den Aufgabentext anschauen !!!

1LE=100m ( 3.Zeile )

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Schon klar:)

Bei F(8) hab ich 32/3 rausbekommen. Das mal 10.000 sind ca. 106000

Meine Frage ist welche Einheit dann die 32/3 sind?

Weil eigentlich rechnet man ja nur mal 10.000 wenn man von Quadratmeter auf Quadratzentimeter will?

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Meine letzte Antwort hierzu. Alles wurde jetzt schon ein paarmal gesagt.

Die Aufgabe ist in der fiktiven Einheit LE ( LängenEinheit ) angegeben.
Wobei
1 km = 1000 m
1 LE = 100 m
1 m
1 cm = 0.01 m

1 km = 1000 m -> 1 km^2 = 1000 m * 1000 m = 1 000 000 m^2
1 LE = 100 m -> 1 LE^2 = 100 m * 100 m = 10 000 m^2

10,6666 LE^2 = 106 666 m^2

Answer 2

Bitte füge noch die Skizze an. Mir ist nicht ganz klar wo Strand und Wohnen getrennt wird. An der x-Achse oder an einer Geraden durch die Schnittpunkte der Funktionen?

Desweiteren kannst du schon mal die Funktionen prüfen. Gerade bei g. Gibt es Unklarheiten bei deiner Funktion.

f(x) = - 1/8·x^2 + x

g(x) = (2·x - 20)·e^{0.2·x - 2}


a)

G(x) = (10·x - 150)·e^{0.2·x - 2}

G'(x) =(10)·e^{0.2·x - 2} + (10·x - 150)·e^{0.2·x - 2}·0.2 = (2·x - 20)·e^{0.2·x - 2} = g(x)


b)