Text erkannt:
Gegeben seien die partiellen Ableitungen
\( \begin{array}{c} f_{x}(x, y)=5 x^{4} y^{4}-16 x^{3} y \\ f_{y}(x, y)=4 x^{5} y^{3}-4 x^{4} \end{array} \)
Gibt es eine Funktion \( f \) mit diesen partiellen Ableitungen?
?
Falls ja, geben Sie die Funktion an:
\( f= \)
(Geben Sie none ein, falls es keine solche Funktion gibt.)
Gibt es weitere solche Funktionen?
?
Aufgabe:
Partielle Ableitungen
Problem/Ansatz:
Mein Vorgehen war folgendes:
1. Bestimmen der Funktion f(x,y)f(x,y)f(x,y) aus fx(x,y)f\_x(x,y)fx(x,y):
Wir integrieren fx(x,y)f\_x(x,y)fx(x,y) nach x:
f(x,y)\=∫(5x4y4−16x3y)dx
Wir behandeln y als Konstante während der Integration:
∫5x4y4dx\=5y4∫x4dx\=5y4⋅5x5\=x5y4
∫−16x3ydx\=−16y∫x3dx\=−16y⋅4x4\=−4x4y
Also: “f(x,y)\=x5y4−4x4y+g(y) Dabei ist g(y)g(y)g(y) eine Funktion von yyy, die beim Integrieren nach xxx als Konstante angesehen wird.”
2. Bestimmen der Funktion g(y)g(y)g(y) aus fy(x,y)f\_y(x,y)fy(x,y):** Wir differenzieren f(x,y)\=x5y4−4x4y+g(y)f(x,y) = x^5y^4 - 4x^4y + g(y)f(x,y)\=x5y4−4x4y+g(y) nach yyy und setzen es gleich mit fy(x,y)f\_y(x,y)fy(x,y):” “fy(x,y)\=∂y∂(x5y4−4x4y+g(y))”
Differenzieren ergibt: fy(x,y)=4x^5y^3−4x^4+g′(y)
Vergleichen wir das mit der gegebenen partiellen Ableitung (x,y): 4x^5y^3−4x^4+g′(y)=4x^5y^3−4x^4
Da beide Seiten gleich sein müssen, folgt: g′(y)=0
Das bedeutet, g(y) ist eine Konstante. Nennen wir diese Konstante C.
3. Zusammensetzen der Funktion f(x,y):
Die Funktion f(x,y) ist also: f(x,y)\=x^5y^4−4x^4y+C
4. Weitere solche Funktionen:
Da C eine beliebige Konstante sein kann, gibt es unendlich viele solche Funktionen, die sich nur durch den Wert von C unterscheiden.
Antworten:
Ja, es gibt eine Funktion f(x,y) mit diesen partiellen Ableitungen.
Die Funktion lautet: f(x,y)\=x5y4−4x4y+C
Es gibt weitere solche Funktionen, da eine beliebige Konstante sein kann.
Ich kann mir leider nicht erklären weshalb die Funktion falsch sein soll, der einzige Grund könnte sein, dass ich die Konstante C hinzugefügt habe, ohne dass es gewollt ist oder ich habe einen Rechenfehler drinnen, den ich mir leider selbst nicht erklären kann. Ich wäre für jede Hilfe dankbar :)
