Bestimmtes Integral: Ober- und Untersumme von f(x) = 2x

Question

zur Zeit komme ich wiedermal nicht weiter..
Es geht um die Ober und Untersumme von f(x) = 2x.

1. Aufgabe:
Bestimmen Sie näherungsweise für die Funktion f(x) = 2x im Intervall [0; 10] die
Untersumme Un=10 und die Obersumme On=10. Gehen Sie hierbei davon aus, dass das
Intervall [0; 10] in n = 10 gleich große Teilstücke unterteilt wird.

Lösung:

O10 = 1*f(1) + ... 1*f(10)
O10 = 1*(2*1) + ... + 1*(2*10) = 110

U10 = 1*f(0) + .... + 1*f(9) = 90

2. Aufgabe:
 Ermitteln Sie fur die Funktion aus Aufgabenteil a) allgemein die Untersumme Un und
die Obersumme On auf dem Intervall [a; b]. Beachten Sie hierbei 1+2+3+4+ ... +n =
n(n+1)/2.

So 1. Wozu steht da das mit dem Beachten? Erstmal habe ich das weg gelassen:
On = 1 * (2*n) + 1*(2*(n+1)) + .... + 1*(2*(n+n)) = 1*(2*n+(2*(n+1))+...+(2*(n+n)) = 2n + (2n+2) + ... + (2n+2n)

Wie muss ich nun weiter machen? Ich muss ja nachher noch daraus auf den tatsächlichen Flächenwert kommen, doch ich weiss nicht wie ich nun weiter komme oder ob es überhaupt soweit korrekt ist...

Answer 1

2. Aufgabe:
 Ermitteln Sie fur die Funktion aus Aufgabenteil a) allgemein die Untersumme Un und
die Obersumme On auf dem Intervall [a; b]. Beachten Sie hierbei 1+2+3+4+ ... +n =
n(n+1)/2.

So 1. Wozu steht da das mit dem Beachten? Erstmal habe ich das weg gelassen:

Achtung die Intervallbreite ist jetzt 10/n und nicht einfach 1. Ich klammere 10/n gleich aus. Muss aber auch in der Summe die Funktionswerte anpassen:
On = (10/n) *( (2*10/n) + (2*2*10/n)) + .... + (2*n*10/n) )  |nochmals aisklammern 2*10/n

=  200/n^2 *(1+2+3+....+n)        |Jetzt angegebene Formel

=200/n^2 * n(n+1)/2)      |kürzen

=100/n^2 * n(n+1))      |kürzen mit n

= 100 * (n^2 + n)/n^2 = 100 + 100/n

Rechne und kontrolliere das mal. Dann kannst du die Untersumme bestimmt selbst berechnen. Es gilt analog zu oben:

1+2+3+4+ ... +(n-1) = (n-1)*(n)/2

Comments

Entschuldige für die späte Rückmeldung. Hmm kann ich annehmen, nehmen wir an es wären 20 gleich große Teile, dann hieß es 20/n ?

Ich teste demnächst mal ein paar eigene Aufgaben dieser Art und mal sehen ob ich es verstehe.

---

Nein. 10 / n steht für die Breite von n Teilen, wenn das Intervall die Breite 10 hat. Man integriert dann z.B. von 0 bis 10.

20/n wären dann n gleichbreite Teile, wenn das Intervall die Breite 20 hat. Man integriert dann z.B. von 0 bis 20.