Komplement von Untervektorräume bestimmen

Question

Aufgabe:

Es seien die Untervektorräume \( U_{1}, U_{2} \subseteq \mathbb{R}^{4} \) gegeben durch
\(U_{1}=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}=x_{2}\right\}, U_{2}=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4}: x_{3}-3 x_{4}=0\right\} \text {. }\)

Finden Sie ein Komplement \( U^{\prime} \) zu \( U_{1} \cap U_{2} \) in \( \mathbb{R}^{4} \), und bestimmen Sie \( \operatorname{dim}\left(U^{\prime}\right) \).

Hinweis. \( U^{\prime}=\left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right\rangle \), Dimension 2.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie man auf die Lösung kommt?

Answer 1

Hallo.

U_1 ist die Menge aller Vektoren (x,y,t,w) mit vier reelen Komponenten x,y,t,w, die x = y erfüllen. D.h. U_1 hat Vektoren der Form (x,x,t,w) wobei eben die ersten beiden Komponenten ja gleich sind. Diesen beliebigen Vektor (x,x,t,w) kann man mithilfe der Vektoraddition und Skalarmultiplikation in eine Summe zerlegen, also in die Linearkombination
x (1,1,0,0) + t (0,0,1,0) + w (0,0,0,1) der Vektoren (1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1). Also siehst du direkt, das U_1 z.B. von den linear unabhängigen Vektoren (1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) aufgespannt wird, da diese linear unabhängig sind und jeder Vektor in U_1 durch dessen Linearkombination dargestellt werden kann. Diese drei Vektoren bilden also eine Basis von U_1. D.h. also U_1 = span((1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) und dreidimensional.

Genauso gehst du mit U_2 vor. Hier soll die Gleichheit t = 3w erfüllt sein für Vektoren (x,y,t,w). Das heisst U_2 hat Vektoren des Typs (x,y,3w,w) und hier kannst du es auch analog zu einer Summe von drei linear unabhängigen Vektoren zerlegen und Basisvektoren ablesen. Hier müsstest du auf U_2 = span((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,1)) kommen. Auch ein dreidimensionaler Raum.

Nun suchst du den Schnitt von U_1 und U_2. Das sind also alle Vektoren (x,y,t,w) die beide Bedingungen von oben erfüllen, also x = y und t = 3w. Also hier sind die Vektoren der Form (x,x,3w,w) drin und man sieht es ist also der zweidimensionale Raum span((1,1,0,0),(0,0,3,1)). (Wieder den beliebigen Vektor (x,x,3w,w) wie oben zerlegen).

Der Schnitt ist also span((1,1,0,0),(0,0,3,1)). Hier sind ja also ein Teil der Vektoren des R^4 drin. Das Komplement ist dabei einfach der Raum der alle restlichen Vektoren enthält, welche eben nicht im Schnittraum span((1,1,0,0),(0,0,3,1)) liegen. (Also so eine Art Lückenfüller). Das Komplement ist dabei ebenfalls zweidimensional (Dimensionsformel). Du siehst ja jetzt welche Typ Vektoren im Schnittraum liegen. D.h. du musst nur noch zwei linear unabhängige Vektoren (Komplement zweidimensional)  finden, die eben einen zweidimensionalen Raum im R^4 aufspannen, aber nicht die Vektoren aus dem Schnittraum von oben erzeugen können (Ausser der Nullvektor). Das ist dann dein Komplement.

Nun die Frage wie du das prüfst, ob deine gewählten Vektoren korrekt sind. Du stellst eine Matrix auf mit den vier Spalten (1,1,0,0), (0,0,3,1) (das sind die Basisvektoren aus dem Schnittraum) und -a,-b. Hierbei sind a und b deine gewählten Basisvektoren für das Komplement, also s.d. U‘ = span(a,b) gilt. Diese Matrix bringst du dann in Zeilenstufenform und falls du am Ende KEINE Nullzeile hast (bzw. die Matrix eben vollen Rang hat), so weisst du, du liegst richtig. (Falls ihr schon Determinanten gemacht habt, kannst du einfach auch die Determinante berechnen und falls diese nicht verschwindet, also nicht Null ist, so bist du fertig).

Comments

Hi Txman danke für die umfangreiche Lösung, woher schließt du, dass das Komplement die dim 2 hat aus der dimensionsformel?

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Hallo.

Allgemein gilt:

Sei V ein endlichdichdimensionaler Vektorraum und U ⊂ V ein Unterraum. So gilt: dim(V) = dim(U) + dim(U’), wobei U’ das Komplement von U ist. Das folgt ursprünglich davon, das V die direkte Summe von U und U’ ist.

In dem Falle ist V := |R^4 der Vektorraum und davon U := U_1 ∩ U_2 ein zweidimensionaler Unterraum von V. Also folgt mit der obigen Formel, das das Komplement ebenso die Dimension 2 hat.

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Text erkannt:

Anafabe 4.a
\( \begin{array}{l} \text { Aragate } U_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+x_{3} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \\ U_{1}=x_{1} \end{array} \)
\( \Rightarrow x_{1}=x_{3}=x_{4}=0 \), abs lin. unalliangigs
Da auch Eneugendensyrlem erfulll ist, bildel Ut sine Basis
\( \Rightarrow \operatorname{dim}\left(U_{r}\right)=3 \)
* dinneahombiratiar geglon

Text erkannt:

Anpababe 4.a Fatwheng
\( \Rightarrow x_{1}=x_{4}=0 \), alos lin. undh.
\( \Rightarrow H_{1} \cap l_{2} \) bildel Basis \( \Rightarrow \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap H_{2}\right)=2 \)
\( \begin{array}{l} u_{a}=x_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+x_{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \quad \begin{array}{l} x_{3}=3 x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \end{array} \\ x_{1} \cdot\binom{1}{8}+x_{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)=0 \\ \Rightarrow x_{1}=x_{2}=x_{1}=0 \text {, alss lin. unah. } \\ \Rightarrow \text { Ua bildel Baris } \\ \Rightarrow \operatorname{dim}\left(u_{a}\right)=3 \\ u_{1} \cap u_{2}=x_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 8 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \\ x_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 8 \end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)=0 \end{array} \)

Text erkannt:

suppabe 4.b
Nach de Dimenriensfomel gill: \( \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}\left(u^{\prime}\right) \)
\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow 4=2+\operatorname{dim}\left(U^{\prime}\right) \\ \Leftrightarrow 2=\operatorname{dim}\left(U^{\prime}\right) \end{array} \)

Sache Casis fie Cenglameat von Ule 1 ta:
\( \begin{array}{l} z_{2}:\left(u_{1}+u_{2}\right)^{\prime}=\left\langle e_{1}, e_{3}\right\rangle=\left\langle\left\langle\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left|\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right| \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right\rangle \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow \operatorname{Rang}(A)=4 \\ \Rightarrow\left(u_{1} \|_{1} U_{2}\right)^{\prime}=\left\langle e_{1}, e_{3}\right\rangle \text { fandtonits, } \end{array} \end{array} \)

Darf man das so aufschreiben?

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@DerMathemann

Ich verstehe nicht warum du hier nochmal das was ich schon sagte, widerholst.

Übrigens kann man an einigen Stellen die Notation nicht ganz erkennen.

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Ja es geht nur um die Notation, also ob es hier formale Fehler gibt

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Ja, i.A. das müsste so stimmen. Entschuldige, ich habe vorhin deine Fotos übersehen.

Ein paar Anmerkungen noch:

1)

Am Ende hast du die Matrix A elementar zu der Matrix in Zeilenstufenform umgeformt. Die Matrizen sind aber nicht gleich! Was gleich ist, ist ihr Rang, ihre Determinante, die Dimension ihres Kernes usw…. Du hast hier mit dem Rang gearbeitet, was sich eben durch Umformungen nicht ändert. Korrekt wäre

A ~> A‘ => Rang(A) = Rang(A‘) = 4, wobei A‘ die Matrix A in Zeilenstufenform ist.

2)

Zu der Schreibweise der linearen Hülle. Anstatt es so wie ein Skalarpodukt zu schreiben, nutze doch die Notation Lin(…) oder span(…). Die Schreibweise, die du da hast ist nicht falsch, aber kann eben falsch verstanden werden. (Ist aber natürlich nur Kosmetik und nichts Inhaltliches…)

3)

Vielleicht am Ende noch eine kleine Begründung warum deine bestimmte Menge auch wirklich komplementär zu dem Schnittraum ist. Da würde reichen, das du zeigst, das eine beliebige Linearkombination der Basisvektoren des Komplements nicht in dem ursprünglichen Schnittraun liegen.

Answer 2

Die UVR \(U_1\) und \(U_2\) beschreiben Ebenen durch den Ursprung. Bestimme zunächst den Schnitt und die Dimension davon. Das solltest du aus der Schule kennen. Wie sehen Vektoren aus dem Schnitt aus? Kannst du eine Basis angeben?

Mit Hilfe einer geeigneten Dimensionsformel kannst du dann auf den Schnitt des Komplements schließen und eine Basis angeben, die die Basis des Schnitts zu einer Basis des \(\mathbb{R}^4\) ergänzt.