Konvergiert die Reihe n/(1+n^2)?

Question

Aufgabe:

Konvergiert die Reihe n/(1+n^2)?

Ansatz:

nach Quotientenkriterium: |  (n+1)/(1+(n+1)^2) * (1+n^2)/n   |

= (1+n^2)/(n^2+2n) = 1/(2n)

Problem:

nach dem Minorantenkriterium kommt etwas anderes raus, was soll ich nun machen?

Stelle eine Vermutung über die Konvergenz/Divergenz der Reihe an:
Unter Beachtung der höchsten Potenz verhält sich die Reihe für hohe \( n \) wie \( \sum \frac{1}{n} \) und divergiert somit vermutlich.
Weise die Divergenz mit dem Minorantenkriterium nach:

Schätze \( a_{n} \) nach unten ab (Zähler verkleiner, Nenner vergrößern, höchste Potenz beibehalten):
\( \begin{array}{l} a_{n}=\frac{n}{1+n^{2}} \\ \quad \geq \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \\ \quad=\frac{n}{2 n^{2}} \\ =\frac{1}{2 n} \\ \quad=b_{n} \end{array} \)
Die gegebene Reihe divergiert nach dem Minorantenkriterium, da die Reihe \( \sum b_{n} \) divergiert. (Vergleich harmonische Reihe)

Answer 1

Hallo.

Du hast dich beim Quotientenkriterium verrechnet. Setze a(n) := n / (1+n^2). Dann ist a(n+1) = (n+1) / (1+(1+n)^2).

Da kommt die Quotientenfolge

a(n+1) / a(n) = [(n+1)(1+n^2)] / [ n (1+(1+n)^2)]

raus und die geht gegen 1 für n —> unendlich. (Du kannst da einfach ausmultiplizieren und dann die höchste Potenz ausklammern, dann siehst Du, das sie gegen 1 geht).

Also mit dem Quotientenkriterium kannst du hier keine Aussage treffen, da der Grenzwert ja genau 1 ist.

Deine Abschätzung nach unten ist aber richtig. Nach dem Vergleichstest, divergiert die Reihe also, da sie eine divergente Minorante hat.

Comments

(n+1)(1+n²) / n (1+(1+n²))

Das ist wegen fehlender Klammern missverständlich.

---

Habe es dazugefügt :)

Danke

---

\( \begin{aligned} \frac{n}{1+n^{2}}= & \frac{\frac{(n+1)}{1+(n+1)^{2}}}{\frac{n}{1+n^{2}}}= \\ & \frac{(n+1)}{1+(n+1)^{2}} \cdot \frac{\left(1+n^{2}\right)}{n} \\ = & \frac{(n+1)+n^{3}+n^{2}}{\left(n^{2}+2 n+2\right) \cdot n}=\frac{n^{3}+n^{2}+n+1}{n^{3}+2 n^{2}+2 n}\end{aligned} \)

Ich komme hier nicht weiter bzw. schon aber dann ist mein Ergebnis, dass die Reihe gegen 0 konvergiert, weil sich oben alles rauskürzt außer 1?

---

Ich hoffe ich habe Dein Problem richtig verstanden. Ich meine Du meinst mit dem Rauskürzen ausser 1, das die 1 in der Unendlichkeit als einziges übrig bleibt. Also nochmal:

Du klammerst erstmal die höchste Potenz aus, also im Zähler

n^3 + n^2 + n + 1

= n^3 (1+ 1/n + 1/n^2 + 1/n^3)

und im Nenner

n^3 + 2n^2 + 2n = n^3 (1+ 2/n + 2/n^2)

Dann kannst Du das n^3 kürzen und erhälts insgesamt den Ausdruck

(1+ 1/n + 1/n^2 + 1/n^3) / (1+2/n + 2/n^2).

Hier siehst du 1/n, 1/n^2, 1/n^3, 2/n, 2/n^2 sind alle Nullfolgen. Für n —> unendlich verschwinden diese Ausdrücke alle. Du hast dann nur noch 1/1 = 1 übrig und das ist dein Grenzwert.

Für n —> unendlich konvergiert also dieser Bruch gegen 1.

---

Wer Mathe (oder ähnliches) studiert, sollte den Zusammenhang zwischen Grenzwerten, Zählergrad und Nennergrad kennen. Da Zählergrad = Nennergrad, ist der Grenzwert konstant. Er ergibt sich aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten. Diese sind in beiden Fällen 1, somit ist der Grenzwert 1.

Da muss man nichts mehr kürzen und ausklammern.

---

Man klammert die höchste Potenz n^3 aus dem Zähler und Nenner aus und kürzt sie dann. Dann folgt der Rest.

Danach geht es nicht mehr ums Kürzen. Es geht darum, das die 1 im Zähler und Nenner für wachsende n als einziges konstant bleibt. Die restlichen Summanden verschwinden für n gegen unendlich. Also hat man für n gegen unendlich 1/1 = 1.

---

Naja, das Kürzen/Ausklammern ist ja die Herleitung der Regel über die Leitkoeffizienten, die ist aber anscheinend nicht bekannt.

Außerdem ist in der Gleichungskette das erste = falsch.

---

Die Rede ist auch nicht vom Kürzen.

Du leitest den ganzen Kram aber nochmal her. Das würde ich so nicht machen, wenn ich schlicht die besagte Regel anwende. Die hat man früher sogar noch in der Schule gelernt, aber gebrochenrationale Funktionen stehen ja schon ewig nicht mehr auf dem Lehrplan. Ein Student sollte diese Regel allerdings kennen. Wird in der Analysis 1 behandelt.

---

Ich verstehe nicht, was das Problem ist. Der FS hat explizit danach gefragt und ich habe es nur nochmal kurz erklärt.

---

Ich kann doch nichts dafür, wenn ihr immer anfangen müsst zu diskutieren. Ich habe nur darauf hingewiesen, dass man als Student wissen sollte, wie der Grenzwert gebrochenrationaler Ausdrücke berechnet wird und man das nicht jedes Mal wieder herleiten muss. Und ich bin mir sicher, dass es irgendwo auch in seinen Unterlagen steht.

---

Ich kann doch nichts dafür, wenn ihr immer anfangen müsst zu diskutieren. Ich habe nur darauf hingewiesen, dass man als Student wissen sollte, wie der Grenzwert gebrochenrationaler Ausdrücke berechnet wird und man das nicht jedes Mal wieder herleiten muss. Und ich bin mir sicher, dass es irgendwo auch in seinen Unterlagen steht.

Und es spricht nichts dagegen es für einen Studenten der es noch nicht verinnerlicht hat gerne noch einmal zu wiederholen.

Ich verstehe nicht, warum du hier ewig die Antworten anderer kritisieren musst. Das Forum ist extra so aufgebaut, dass jeder eine Antwort geben kann.

Wenn du fachlich etwas auszusetzen hast, ist es ok andere auf Fehler hinzuweisen. Was die Methoden angeht, wie und wie oft man etwas erklärt, das überlasse doch bitte dem Antwortgeber.

---

warum du hier ewig die Antworten anderer kritisieren musst

nochmal die Bitte, abfällige polemische Bemerkungen zu unterlassen. Wir brauchen hier keinen Nachfolger von ggT22.

---

Ich finde diese Diskussionen wirklich unangemessen. Jeder hat seine Denkweise und das ist auch völlig in Ordnung. Im Endeffekt ist dieses Forum da, um gegenseitig zu helfen und da kann es doch jeder so machen wie er selbst es für richtig hält. Natürlich kann man bei inhaltlichen Fehlern oder unnötigen Antworten (soetwas wie Spam)… gegenseitig korrigieren bzw. kritisieren, jedoch finde ich es unangebracht wegen solchen nicht unbedingt inhaltlichen Kleinigkeiten hier ein Drama zu machen, wenn es nur darum gehen soll, das ein Antwortgeber es eventuell anders macht als der andere. Wie in dem Beispiel: Es mag sein, das die Berechnung des Grenzwerts von solchen rationalen Folgen absolute Grundlagen sind, doch schadet es doch nicht, es nochmal bei Bedarf für den FS zu widerholen.

Soetwas verwirrt nämlich dann auch den FS, wenn unter seinem Beitrag hundert Kommentare stehen, die jetzt gar nichts mit seiner Angelegenheit zu tun haben.

Auch beim Thema kritisieren, sollte man es nicht zu einer grossen Diskussion bringen. Zum Beispiel wurde ich vorhin zurecht kritisiert, das ich direkt die Lösung bei einer Frage hochgeladen habe. Ich kann es nachvollziehen und habe diese Kritik auch angenommen und das sollte eigentlich dann eigentlich schon der Schlussstrich dazu sein.

Insgesamt finde ich also Spam unangebracht. Man sollte nicht vergessen, worum es hier eigentlich geht…

---

@Txman

Das sehe ich absolut genau so.

---

Ich verstehe nicht, warum du hier ewig die Antworten anderer kritisieren musst. Das Forum ist extra so aufgebaut, dass jeder eine Antwort geben kann.

Und so, dass jeder kommentieren und damit auch ggf. Kritik oder Ergänzungen äußern kann, die im Übrigen auch positiv ausfallen können. Kritik wird ja gerne nur als etwas Negatives aufgefasst. Dieses Recht lasse ich mir auch nicht nehmen.

Unklar ist auch, warum du dich jetzt einmischen musst. Hattest du nicht vor einiger Zeit selbst noch gesagt, dass es unnötig ist, wenn sich Dritte immer wieder einmischen? Wieso tust du es dann also hier?

Die Intention meines Kommentars war klar und habe ich bereits erläutert. Warum man mir das ständig als böse Kritik auslegen muss, ist mir unbegreiflich.

Wenn du fachlich etwas auszusetzen hast, ist es ok andere auf Fehler hinzuweisen. Was die Methoden angeht, wie und wie oft man etwas erklärt, das überlasse doch bitte dem Antwortgeber.

Aber für die, die es immer noch nicht verstanden haben: fachlich habe ich daran nichts auszusetzen, sondern lediglich mitgeteilt, dass man diesen Zusammenhang kennen sollte. Das ist hier insofern für den FS wichtig, weil derartige Grenzwerte durchaus häufiger mal vorkommen und es dann zeitintensiv und vor allem fehleranfällig ist, es immer auf die hier vorgestellte Weise nachzurechnen.

Es mag sein, das die Berechnung des Grenzwerts von solchen rationalen Folgen absolute Grundlagen sind, doch schadet es doch nicht, es nochmal bei Bedarf für den FS zu widerholen.

Das habe ich auch gar nicht kritisiert. Es war doch lediglich eine ergänzende Information meinerseits, um die Wichtigkeit dieser Grundlagen zu betonen. Und das dürfte sehr wohl für den FS wichtig sein. Wie gesagt, ich kann NICHTS dafür, wenn ihr meine Kommentare immer wieder als böse Kritik auffasst und dann anfangt zu diskutieren. Ich wollte deine Vorgehensweise damit in keiner Weise bemängeln. Schade, dass man das hier angenommen hat und mir wieder böse Absichten oder was auch immer unterstellt...

---

@Apfelmännchen

Ich habe gar nicht erwähnt, das Du es kritisiert hast. Erstmal ist es vollkommen in Ordnung, das Du hier Deine Meinung dazu schilderst. Deine Sicht ist ja auch gar nicht verkehrt und hat wichtige Punkte. Mein Kommentar war auch nicht direkt an Dich. Ich wollte einfach allgemein nochmal erwähnen, das ich es unangebracht finde, wenn aus solchen Kleinigkeiten im Endeffekt eine unnötige lange Diskussion entsteht. Ich finde allgemein sollte hier inhaltlich über Mathematik diskutiert werden und nicht soetwas. Wie gesagt, es ist völlig in Ordnung seine Sicht dazu mitzuteilen, aber es sollte sich nicht zu lang ziehen. Das gilt für uns alle und das wollte ich einfach mit dem allgemeinen Kommentar kurz erwähnen. Der vorherige Kommentar war zugleich auch in Bezug zu der anderen Frage, wo ich geantwortet hatte.

---

@Der_Mathecoach

Das freut mich, das Du es auch so siehst.