Andere Vorgehensweise bei gemischter partieller Ableitung?

Question

Aufgabe:

Ich sollte Partielle Ableitungen bilden mit der Funktion \(f(x,y) = sin(xy)\). Vom Prinzip ist es ja einfach, allerdings bin ich immernoch verwirrt gewesen wegen der gemischte Partielle Ableitung.

Problem/Ansatz:

Warum wird bei der Gemischten Partiellen Ableitung anders berechnet als z.B die zweite Ableitung in Abhängigkeit von y..

\(\frac{d}{dy} \left( \cos(xy) \cdot x \right)\)?

Weil bei \(\frac{d}{dy} \left( \cos(xy) x \right)\) kann man als Rechenregel schreiben:

\(\frac{d}{dy} \left( a \cdot f(x) \right) = a \cdot \frac{d}{dy} \left( f(x) \right)\)

also...

\(x \cdot \frac{d}{dy} \left( \cos(xy) \right)\).

Warum ist bei der Vorgehensweise der Gemischten Partiellen Ableitung anders?

Denn es wird als Rechenregel das hier genutzt:

\(\frac{d}{dx} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \frac{d}{dx} \left( f(x) \right) \cdot g(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx} \left( g(x) \right)\)

Also mit \(u = xy\):

\(\frac{d}{du} \left( \cos(u) \right) \cdot y + \cos(u) \cdot \frac{d}{dy} \left( xy \right)\).

Ich bin mir nicht sicher was und wie genau ich die Gemischte Partielle Ableitung richtig verstehen soll.

Kann wer helfen? Danke im voraus

Answer 1

Bei der gemischten partiellen Ableitung hast du kein Produkt in der Variablen, nach der du ableitest. Bei der zweiten Ableitung nach derselben Variablen hast du ein Produkt und wendest daher die Produktregel an.

Wenn du \(\cos(xy)y\) nach \(x\) ableitest, hast du kein Produkt in \(x\) (es kommt nicht in beiden Faktoren vor) und brauchst keine Produktregel. Wenn du diesen Term allerdings nach \(y\) ableitest, kommt in beiden Faktoren das \(y\) vor, so dass du dann die Produktregel benötigst.

Comments

Achso, also wenn man eine gemischte partielle Ableitung durchführt, betrachtet man eine Variable als eine konstante?

Das heißt bei der Ableitung \(\frac{d}{d x} \left( \cos(xy) \cdot y \right)\) z.B, ist \(y\) wie eine Konstante?(also keine Produktregel).

Und bei \(\frac{\partial}{\partial y}\) von \(\cos(xy) \cdot y\)  kommt hier \(y\) in beiden Teilen vor  (also Produktregel)

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Das macht man immer beim Ableiten. Deswegen muss man ja auch angeben, nach welcher carisbeleb Variablen man ableitet. Alle anderen sind dann Konstanten.

Answer 2

Ich weiß gar nicht, wo Du den Ausdruck xy hier herholst. Der tritt alleine gar nicht auf. Und dann u=xy und ableiten nach u?

Hier geht einiges durcheinander. Vielleicht liest Du das falsch? Da steht \(\cos (xy)\), nicht \(\cos (irgendwas) \cdot xy\).

In der letzten Zeile sollte stehen:

\(\frac{d}{dy}(\cos (xy)\cdot y)) = \frac{d}{dy}(\cos (xy))\cdot y+\cos (xy)\cdot \frac{d}{dy}(y) = -\sin(xy)\cdot x\cdot y+\cos(xy)\cdot 1\).

Comments

Achja, upps... Da bin ich wirklich durcheinander gekommen.

Also generell meinte ich, sobald man diesen Ausdruck hat:

\(\frac{d}{dy}(\cos (xy))\cdot y+\cos (xy)\cdot \frac{d}{dy}(y)\)

Kann man ja mit der Rechenregel für \(\frac{d}{dy}(\cos (xy)):

\(\frac{d}{dy} \left( f(g) \right) = \frac{d}{dg} \left( f(g) \right) \cdot \frac{d}{dy} \left( g \right)\)

weiter rechnen indem man für \(g = xy \) einsetzt (nicht u).

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Ja, das stimmt. Das ist die Kettenregel für den ersten Faktor im ersten Summanden. Und, gibt es da ein Problem?