Wo ist der Fehler in der 3. Ableitung von x/(x^2+1)

Question

Ich habe hier die 3. Ableitung von x / (x^2 + 1) versucht auszurechnen, aber nach online rechner ist die falsch und ich verstehe einfach nicht warum.. die 2. Ableitung ist aber richtig

\( \begin{array}{l} \frac{\left(2 x^{3}-6 x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac{2 x\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} \\ \begin{aligned} f^{\prime \prime \prime}(x) & =\frac{\left(2\left(x^{2}-3\right) 2 x\right) \cdot\left(x^{2}+1\right)^{3}-\left(2 x\left(x^{2}-3\right)\right)\left(3\left(x^{2}+1\right)^{2} 2 x\right)}{\left(\left(x^{2}+1\right)^{3}\right)^{2}} \\ & =\frac{4 x\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}+1\right)^{3}-\left(12 x^{3}\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{6}} \\ & =\frac{\left(4 x^{3}-12 x\right)\left(x^{2}+1\right)-\left(12 x^{4}-36 x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{4}} \\ & =\frac{4 x^{5}+4 x^{3}-12 x^{3}-12 x-12 x^{4}+36 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}} \\ & =\frac{4 x^{5}-12 x^{4}-8 x^{3}+24 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}} \\ & =\frac{4 x\left(x^{4}-3 x^{3}-2 x^{2}+6\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{4}} \end{aligned} \end{array} \)

Comments

Die Ableitung von 2x(x^2-3) ist: 2(x^2-3)+2x*2x = 2x^2-6+4x^2= 6x^2-6

Ich würde 2x nicht ausklammern. Damit machst du es schwieriger.

Quotientenregel:

u= 2x^3-6x

u' = 6x^2-6

v= (x^2+1)^3

v' = 3(x^2+1)^2*2x = 6x*(x^2+1)

Answer 1

Die Ableitung

[(2·x)·(x^2 - 3)]' = (2)·(x^2 - 3) + (2·x)·(2·x) = 6·x^2 - 6

war bereits verkehrt. Mehr habe ich mir dann nicht erst angesehen.

Multipliziere aus und vermeide die Anwendung der Produktregel

(2·x)·(x^2 - 3) = 2·x^3 - 6·x

Das ist deutlich einfacher abzuleiten!

Comments

f''(x) = (2·x^3 - 6·x)/(x^2 + 1)^3

f'''(x) = ((6·x^2 - 6)·(x^2 + 1)^3 - (2·x^3 - 6·x)·(2·x)·3·(x^2 + 1)^2)/(x^2 + 1)^6
f'''(x) = ((6·x^2 - 6)·(x^2 + 1) - (2·x^3 - 6·x)·(2·x)·3)/(x^2 + 1)^4
f'''(x) = ((6·x^4 - 6) - (12·x^4 - 36·x^2))/(x^2 + 1)^4
f'''(x) = (- 6·x^4 + 36·x^2 - 6)/(x^2 + 1)^4
f'''(x) = - 6·(x^4 - 6·x^2 + 1)/(x^2 + 1)^4

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danke, ist es eher immer einfacher abzuleiten wenn man das x ausgeklammert hat oder wenn man es vorher ausmultipliziert hat?

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Es kommt darauf an. Wenn es schon ausmultipliziert ist und es ein ganzrationaler Term ist, dann ist ausklammern unpraktisch. Hat man eine Funktion der Form \(p(x)\mathrm{e}^{q(x)}\), wo bei \(p\) und \(q\) ganzrationale Funktionen sind, dann ist die ausgeklammerte Form sinnvoller. Das kennst du vielleicht noch aus dem Abitur, dass man dort beim Ableiten der e-Funktionen zum Ende hin noch ausgeklammert hat. Genau aus diesem Grund, weil man dann nur einmal die Produktregel anwenden muss.

Es führen beide Wege zum Ziel, man sollte aber immer den Weg wählen, der einfacher und weniger fehleranfällig ist. Das ist in diesem Fall aber die Vermeidung der Produktregel.

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Wenn du einen Term mit Produktregel ableitest

[u·v]' = u'·v + u·v'

Dann erhältst du in der Regel eine Summe von Produkten, Da du das in der Regel auch ausmultiplizieren und zusammenfassen musst, solltest du es meist vorher schon machen. Das gilt zumidest bei reinen Produkten von Polynomen wie hier bei dir.