Berechnung der Taylorreihe von log(x)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie die Taylorreihe folgender Funktionen:
(a) \( f(x):=\log \left(\frac{1}{x}\right) \) mit Entwicklungspunkt \( a:=2 \).

Problem/Ansatz:

Das ist ja erstmal grundsätzlich nicht schwer, ich berechne "einfach" die Ableitungen:

\(T(f, 2)(x) = -\log(2) - \frac{1}{2}(x-2) + \frac{1}{8}(x-2)^2 - \frac{1}{24}(x-2)^3 + \frac{3}{384}(x-2)^4 + \ldots\)

Mein Problem ist aktuell nur, dass ich ja unendlich viele Reihenglieder habe, um also der Aufgabenstellung genüge zu tun, muss ich ja eine formale Reihe finden.

Ergo muss ich ein "Muster" der Ableitungen bzw. der Folgenglieder finden, was ich auch für \(n\geq 1\) gefundne habe:

\(f^{(n)}(x) = (-1)^{n} \cdot (n-1)! \cdot \frac{1}{x^n}\).

Ich kann aber eben nicht n=0 damit abdecken, was ja gleich log(x) wäre. Genügt es also die Reihe wie folgt darzustellen:

\(-\log(2) +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \underbrace{((-1)^{n} \cdot (n-1)! \cdot \frac{1}{2^n})}_{=f^{(n)}(2)}(x-2)^n\)?

Comments

Hier noch ein kleiner Tipp.
Wenn du die Taylor-Reihe \(\displaystyle \log(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}n t^n\) als bekannt voraussetzen darfst, brauchst du keine Ableitungen mehr berechnen:

$$\begin{array}{rcl}  \log\frac 1x & = & -\log x \\ & = & -\log (2+(x-2)) \\ & = & - \log 2 -\log\left(1 + \frac{x-2}2\right) \\ & = & -\log 2 -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n2^n} \left(x-2\right)^n \end{array}$$

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Vielen Dank! Das ist eine gute/interessante Gleichheit!

Answer 1

Es ist völlig ok, den nullten Summanden separat zu schreiben, weil er nicht in das gefundene Muster passt. Eine Reihe ist eine Reihe.

Deine Ableitungen stimmen auch, nicht aber die Reihe am Ende. Wo ist der Entwicklungspunkt benutzt worden, wo ist der Faktor (x-2)? Und Fakultäten bitte kürzen.

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Danke für die Antwort!

Ja, stimmt. Da habe ich fälschlicherweise nur die Darstellung der Ableitung ohne die Verwendung des Entwicklungspunktes und dem benannten Faktor reinkopiert.

Answer 2

Aloha :)

Du hast die n-te Ableitung korrekt bestimmt:$$f^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{(n-1)!}{x^n}\quad;\quad n\ge1$$

Das musst du nun aber auch richtig in die allgemeine Taylorreihe$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x-a)^n=f(a)+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x-a)^n$$

mit dem Entwicklungspunkt \(a=2\) eintragen:$$\ln\left(\frac1x\right)=-\ln(2)+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\,\underbrace{(-1)^n\frac{(n-1)!}{2^n}}_{=f^{(n)}(a)}(x-2)^n=-\ln(2)+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{n\cdot(-2)^n}$$

Deine Idee ist also richtig, nur die Ausführung war nicht optimal ;)

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Danke vielmals!