Grenzwerte arctan und Potenzen

Question

Aufgabe:

(d)    \(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \arctan \left(\ln \left(\frac{1}{n}\right)\right)= -\frac{\pi}{2} \)

(e)    \(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}-3^{k}}{4^{k}}=-2 \)

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei e) nicht auf das Ergebnis. Auch durch die geometrische Reihe, bekomme ich etwas falsches. Und bei der a) verstehe ich nicht, wieso es -pi/2 ist. Ich hätte gedacht, dass der ln insgesamt gegen +unendlich strebt, sodass es nur pi/2 heißt.

LG

Comments

Und bei der a) verstehe ich nicht, wieso ...

Es gibt hier keine Aufgabe a).

Answer 1

d) Beachte \(\ln(\frac{1}{n})=-\ln(n)\).

e) Beachte \(\frac{2^k-3^k}{4^k}=\frac{2^k}{4^k}-\frac{3^k}{4^k}=\left(\frac{2}{4}\right)^k-\left(\frac{3}{4}\right)^k\). Der Ansatz mit der geometrischen Reihe ist hier korrekt. Evtl. hast du dich verrechnet; deshalb zeige deinen Rechenweg.

Answer 2

Hallo.

a)

Beachte zuerst, das ln(x) für x —> 0 in die negative Unendlichkeit divergiert. Da (1/n) eine Nullfolge ist, also für n —> inf, 1/n —> 0 gilt, folgt dann also das ln(1/n) für wachsende n auch in die negative Unendlichkeit divergiert.

Zunächst bemerke lim (x—> -inf) arctan(x) = -π/2. Da ln(1/n) eine Folge ist mit ln(1/n) —> -inf, folgt aus der Definition des Grenzwertes dann

lim (n—>inf) arctan(ln(1/n)) = -π/2.

b) Die Reihe kannst du in eine Differenz von zwei Reihen unterteilen.

Also gilt:

Σ (2^n - 3^n) / 4^n = Σ 2^n / 4^n - Σ 3^n / 4^n

= Σ (1/2)^n - Σ (3/4)^n

Nun nutze die Formel der geometrischen Reihe bei beiden Summanden.

Reihenwert zur Kontrolle: -2

Comments

Also gilt weil ln eine stetige Funktion ist:

Das halte ich für eine ungenaue Begründung, weil es um den Nullpunkt geht, wo ln noch nicht einmal definiert ist.

Und auch die Gleichung \(\ln(0)=-\infty\) würde ich nicht als Lösung vorschlagen.

b) ist eine geometrische Reihe. Da kannst Du die Formel nutzen.

sehe ich nicht als weiterführend an, weil FS schon sagte

Auch durch die geometrische Reihe, bekomme ich etwas falsches

Von Apfelmännchens Beitrag mal ganz zu schweigen.

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Letzteres klingt halt nach einem Rechenfehler. Deswegen sind Rechenwege ja auch immer wichtig und mitzuliefern, weil man dann genau sagen kann, was schief gelaufen ist. Dafür muss man auch niemandem die Aufgabe vorrechnen, wie es in der anderen Antwort passiert ist. ;)

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Schon bischen her, aber habe das nochmal überarbeitet

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Jetzt ist es für mich ab "dann gilt" unverständlich/falsch

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Ja falsch war es nicht, jedoch bischen unschön geschrieben. Ist jetzt aber vollständig.

Answer 3

e) Die Teilsummen/ geometrischen Reihen haben die Werte:

Σ (2/4)^k = Σ (1/2)^k =  (1/2)^0/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2, a0=1, q= 1/2

∑ (3/4)^k = 1/(1/4) = 4, a0= 1, q= 3/4

Die Differenz hat den Wert: 2- 4=  -2