Berechnen Sie die Länge der Strecke PM im gezeichneten Quadrat

Question

Fenster gibt es in vielfältiger Größe und Form. Die Abbildung zeigt eine quadratische Fensterform mit eingearbeitetem dreieckigen Buntglas. \( \mathrm{M}_{1} \) und \( \mathrm{M}_{2} \) sind die Mittelpunkte zweier Quadratseiten.

a) Ermitteln Sie mithilfe einer Konstruktion im Maßstab 1:10 den Umfang des dreieckigen Buntglases, wenn die Quadratseite \( 0,60 \mathrm{~m} \) lang ist.

Berechnen Sie die Länge der Strecke \( \overline{\mathrm{PM}}_{1} \).

b) Die Quadratseite habe eine frei wählbare Seitenlänge a. Weisen Sie nach, dass für den Inhalt der dreieckigen Buntglasfläche \( \mathrm{PM}_{1} \mathrm{M}_{2} \) folgende Formel gilt.

Answer 1

zu a)

Da sollst du nun wohl zunächst ein Quadrat der Seitenlänge
0,6m * 1 / 10 = 0,06 m = 6 cm
konstruieren, dann jeweils die Mittelpunkte M1 und M2 der Strecken, auf denen diese liegen, und dann sollst du daraus den Umfang "ermitteln". Da du diesen Umfang im nächsten Schritt auch berechnen sollst, bedeutet "ermitteln" hier vermutlich: "ausmessen". Miss also die Längen der Strecken PM₁, M₁M₂ und M₂P deiner Konstruktion, bilde deren Summe und vergiß nicht, diese wieder mit 10 zu multiplizieren!

Die Länge der Strecke PM₁ lässt sich relativ einfach mit dem Satz des Pythagoras berechnen, denn sie ist Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine Kathete eine Quadratseite ( 0,6 m ) und dessen andere Kathete eine halbe  Quadratseite ( 0,3 m ) ist.
Also:

( PM₁ ) ² = 0,6 ² + 0,3 ² = 0,45

<=> PM₁ = √ ( 0,45 ) ≈ 0,67

Die Strecke PM₁ ist also etwa 0,67 Meter lang (vergleiche mit dem Ergebnis deiner Messung an deiner Konstruktion).

 

zu b)

Die Buntglasfläche ist der Rest eines Quadrates der Seitenlänge a , von dem drei rechtwinklige Dreicke abgeschnitten wurden. 

Zwei dieser Dreiecke haben die Kathetenlängen a und a / 2 , das dritte hat zwei Katheten der Länge a / 2

Der Flächeninhalt A der Buntglasfläche ist also gleich dem Flächeninhalt des Quadrates abzgl. der Flächeninhalte der drei beschriebenen Dreiecke.

Der Flächeninhalt A_Q des Quadrates ist:
A_Q  = a ²

Der Flächeninhalt A_D1 bzw. A_D2 der beiden gleich großen Dreiecke ist jeweils:
A_D1= A_D2 = a * ( a / 2 ) / 2 = a ² / 4 

Der Flächeninhalt des dritten Dreiecks ist:

A_D3= ( a / 2 ) * ( a / 2 ) / 2 = a ² / 8

Also:

A = A_Q - A_D1 - A_D2 - A_D3

[Es ist A_D1= A_D2 , also:]

= A_Q - 2 A_D1 - A_D3

= a ² -  2 ( a ² / 4 ) - ( a ² / 8 ) 

= a ² -  ( a ² / 2 ) - ( a ² / 8 )

Erweitern auf den Hauptnenner 8:

= ( 8 a ² / 8 ) - ( 4 a ² / 8 ) - ( a ² / 8 )

= ( 8 a ² / 8 ) - ( 5 a ² / 8 )

= 3 a ² / 8

= ( 3 / 8 ) a ²