Wachstums- und Zerfallsprozesse und logistisches Wachstum

Question

Aufgabe:

Eine Seuche verbreitet sich unter den Bewohnerinnen und Bewohnern eines abgeschiedenen Dorfes. Momentan sind 80 der 1400 der Bewohnerinnen und Bewohner erkrankt und die Zahl der Kranken nimmt täglich um durchschnittlich 10 % zu.

- Beschreiben Sie die Anzahl der nach t Tagen erkrankten Personen durch eine logistische Wachstumsfunktion.

- Berechnen Sie, wie viele Einwohnerinnen und Einwohner nach 14 Tagen erkrankt sind.

- Ermitteln Sie, wie lange es dauert, bis die Hälfte aller Bewohnerinnen und Bewohner dieses Dorfes an der Seuche erkrankt sind.

Problem/Ansatz:

Hiii :) Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen. Danke im Voraus!!

Comments

Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen.

Was hast Du denn selber schon?

Wie sieht bei Dir eine logistische Wachstumsfunktion aus, deren Parameter hier gesucht sind?

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Klar, was genau ist denn Dein Problem? Was hast Du probiert, wie weit bist Du gekommen, was hast Du nicht verstanden?

Answer 1

Hallo

logistische Wachstumsfunktion im skript ode Wiki nach schlagen, G=Gesamtbevolkerung , f(0)=80 Wachstum 10% also Faktor 1,1

Was fehlt dir dann noch?

lul

Answer 2

Wenn es nach einer Idee von hj eine momentane tägliche Zunahme von 10% ist, dann wäre es die Funktion:

f(x) = 1400/(1 + (1400/80 - 1)·e^(- 7/66·x))

Diese Funktion erfüllt dann die Bedingung: f'(0) / f(0) = 0.1

Und über diese Bedingung könnte man auch die 7/66 bestimmen. Das kannst du ja zunächst mal selber probieren.

Und ich denke, dann könntest du auch die restlichen Fragen beantworten.

Also das schwierige für mich wahr die verkehrte Aufgabenstellung. Weil um die durchschnittliche Änderungsrate zu bestimmen, bräuchte man zumindest ein Intervall, in dem die vorliegen soll. Das war aber nicht gegeben.

Zur Sicherheit kannst du aber nochmal bei dem nachfragen, der euch die Aufgabe gegeben hat, ob evtl. die momentane tägliche prozentuale Änderungsrate (zum Zeitpunkt t = 0) 10% betragen soll.

~plot~ 1400/(1+(1400/80-1)·e^(-7/66x));[[0|80|0|1400]] ~plot~

Comments

Es geht um das Intervall, in dem die Änderung erfolgen soll. Du schreibst Das war aber nicht gegeben und verfolgst die Idee leider nicht weiter.
Wenn es nicht gegeben ist, dann muss man es eben so gut es geht schätzen.
Ein Wachsum von 10% über einen Zeitraum von n Tagen bis zur vollständigen Durchseuchung liefert 1,1^n = 1400/80 und damit n = 30. Dann gehe man weiter davon aus, dass die Durchseuchung vollständig ist, wenn f(t) ≥ 1399,5 ist und erhalte aus f(30) = 1399,5 die Funktion f(t) = 1400 / (1+16,5*e^-0,358t)

 

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Genau. Und so hatte ich die Abschätzung auch am Anfang gemacht und kam darauf, dass in dem Graphen von döschwo die durchschnittliche Änderungsrate auf keinen Fall 10% sein kann.

Daher hatte ich da ja auch das erste Mal nachgefragt, was inzwischen ausgeblendet ist.

Ich habe es jetzt aber verstanden.

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Obwohl Du es verstanden hast: Ich halte Deine (MC) Interpretation eher für sachgerecht: Eine Seuche bricht aus, man geht von einem logistischen Verlauf bis zur "Durchseuchung" aus. Anfangs beobachtet man eine exponentielles Wachstum der Form 1.1^t. Daran passt man die allgemeine logistische Kurve an.

Wenn man die 1.1 anders interpretiert (als Gesamtdurchschnitt), steht dieser Wert ja erst gegen Ende der Seuche zur Verfügung, aber was soll man dann noch Rechnen / Schätzen, wenn der ganze Verlauf beobachtet ist?

Gerade weil der Verlauf logistisch ist, ist ein konstantes Durchschnittswachstum nicht sachgerecht. Der Vergleich von 80*1.1^t mit der logistischen Kurve bestätigt das.

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Gerade weil der Verlauf logistisch ist, ist ein konstantes Durchschnittswachstum nicht sachgerecht.

Allerdings steht es so im Aufgabentext. Natürlich könnte es der FS falsch abgeschrieben oder missverstanden haben. Davon ist hier aber, denke ich, nicht auszugehen. Daher kann man dies ja mit dem Fachlehrer klären, wie genau das gemeint ist. Ob man von einer momentanen prozentualen Änderungsrate von 10% ausgehen soll und wenn nicht, ob man dann das Wachstumsende über z.B. f(x) = 1399.5 abschätzen soll.

Es kommt leider nicht selten vor, dass Lehrer etwas falsch aufschreiben, wenn sie eigene Arbeitszettel machen. Daher kann man da ja gerne beim Fachlehrer nachfragen und auch Gelegenheit bieten, dass er die Aufgabenstellung anpasst.