Wie löse ich eine DGL der Form y(x)=f(x)g(y(x))?

Question

Hallo,Folgendes Problem: Löse folgende DGL: y‘(x)= f(x)*g(y(x))Lösung : Ich nehme g(y(x)) ≠ 0 an und g^(-1) existiere y‘(x)/(g(y(x)) = f(x) => ∫ y‘(x)/(g(y(x)) dy = ∫f(x) dx => ∫ 1/g(y(x)) * y‘(x) dy = F(x) + C Setze z(x):= y(x)=> ∫ 1/g(z(x)) dz = F(x)+C=> ln|g(z(x))| = F(x)+C=> g(z(x)) = e^(F(x)) * C=> g(y(x)) = e^(F(x)) * C=> y(x) = g^(-1)(e^(F(x)) * C)Wo liegt mein Fehler ?Danke!

Answer 1

Erstmal kannst Du nicht auf einer Seite nach y integrieren und auf der anderen nach x. Bei Umformungen muss natürlich auf beiden Seiten das gleiche gemacht werden, hier also nach x integriert.

Und dann: z(x):= y(x): wozu? Ein zusätzlicher Buchstabe, der gar nicht neu ist?

Hauptsache ist aber: \(\int \frac1{g(y)}dy \neq \ln g(y) + C\). Mach die Probe (durch Ableiten), stets angeraten beim Integrieren, dann siehst Du's sofort. Kettenregel beachten.