Aussagen zu Untervektorräumen

Question

Aussagen zu Untervektorräumen

Aufgabe:

Gegeben sind ein Untervektorraum $ U $ eines $ \mathbb{K} $ Vektorraums $ V $ und Elemente $ \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w} \in V $. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) Sind $ \boldsymbol{u} $ und $ \boldsymbol{w} $ nicht in $ U $, so ist auch $ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} $ nicht in $ U $.
(b) Sind $ \boldsymbol{u} $ und $ \boldsymbol{w} $ nicht in $ U $, so ist $ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} $ in $ U $.
(c) Ist $ \boldsymbol{u} $ in $ U $, nicht aber $ \boldsymbol{w} $, so ist $ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} $ nicht in $ U $.

Problem/Ansatz:

a) und b) sollen flasch sein und c) richtig, kann mir jemand erklären wieso? Sehe den Unterschied zwischen a und c nicht?

Gefragt 6 Sep von _user181082

📘 Siehe "Untervektorraum" im Wiki

4 Antworten

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Der_Mathecoach · Answer 1 · 2024-09-06T15:28:44+0000

Ich nehme mal das Beispiel und nehme keine Vektorräume sondern Zahlenmengen. Stell dir also mal vor wie haben die Menge U der ganzen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen V.

Vielleicht kannst du dir das jetzt besser vorstellen.

Sind u und w nicht in U, so ist auch u + w nicht in U.

Wie ist das mit u = w = 0.5. Sowohl u als auch w sind keine ganzen Zahlen aber u + w ist eine ganze Zahl. Die Aussage ist also falsch.

Sind u und w nicht in U, so ist u + w in U.

Wie ist das mit u = w = 0.1. Sowohl u als auch w sind keine ganzen Zahlen und auch u + w ist keine ganze Zahl. Die Aussage ist also falsch.

Ist u in U, nicht aber w, so ist u + w nicht in U.

Ist u also eine ganze Zahl und w keine ganze Zahl. Dann ist die Summe u + w ebenso keine ganze Zahl. Die Aussage ist also richtig.

Tschakabumba · Answer 2 · 2024-09-07T12:36:42+0000

Aloha :)

Die ersten beiden Aussagen kannst mit einem Gegenbeispiel widerlegen. Betrachte dazu die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems als Unterraum $U$ des $\mathbb R^3$.

Zu a) Die Vektoren $(0;0;1)$ und $(0;0;-1)$ liegen nicht in der xy-Ebene. Ihre Summe ist der Nullvektor und der liegt in der xy-Ebene. Die Aussage ist also falsch.

Zu b) Die Vektoren $(0;0;2)$ und $(0;0;-1)$ liegen nicht in der xy-Ebene. Ihre Summe ist $(0;0;1)$. Dieser Vektor liegt nicht in der xy-Ebene. Die Aussage ist also falsch.

Die Aussage c) ist korrekt. Das kannst du dir wie folgt überlegen. Der Vektor $\vec w$ liegt nicht in $U$. Du kannst diesen Vektor in einen Anteil parallel zum Vektor $\vec u\in U$ und einen Anteil orthogonal zum Vektor $\vec u\in U$ zerlegen:$$\vec w=\vec w_\parallel+\vec w_\perp$$Der parallele Anteil liegt in $U$, der orthogonale Anteil steht senkrecht auf $U$. Für die Summe gilt nun:$$\vec u+\vec w=\left(\vec u+\vec w_\parallel\right)+w_\perp$$Die geklammerte Summe ist ein Vielfaches des Vektors $\vec u$ und liegt daher in $U$, aber der orthogonale Anteil liegt nicht in $U$. Daher liegt auch die Summe $\vec u+\vec w$ nicht in $U$.

In dem Bild der xy-Ebene von oben haben alle Vektoren aus $U$ die z-Koordinate Null, also auch der Vektor $\vec u\in U$. Da der Vektor $\vec w$ nicht zu $U$ gehört, ist seine z-Koordinate ungleich Null. Die Summe beider Vektoren hat dieselbe z-Koordinate wie $\vec w$. Da diese von Null verschieden ist, gehört die Summe nicht zu $U$.

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