Beweis, dass Taylorreihe gleich dem Funktionswert ist

Question

Aufgabe:

Wir sollen zeigen, dass die Taylorreihe T(f,0)(x) der Funktion f(x)=-log(1-x) gleich der Funktion f(x) ist, also:

\(f(x)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n\)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das jetzt beweisen, dass die Gleichheit gilt?

Ich hatte die Idee, dass man das mit dem Restglied macht und da eben zeigt, dass das gegen Null geht, aber da bin ich mir nicht sicher, ob es da nicht noch einen anderen/besseren Weg gibt.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Die Idee mit dem Restglied ist (gewissermaßen) der Standard-Ansatz.

Zu spät. Schon beantwortet

Eine Alternative wäre, die Ableitungen beider Seiten zu untersuchen, die hier auf einen sehr bekannten Sachverhalt führt. Dann musst Du allerdings für die Ableitungen gleichmäßige Konvergenz nachweisen - was hier kein Problem ist. Oder die Ergebnisse über Potenzreihen heranziehen.

Beachte übrigens den Def-Bereich der Reihen.

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Danke für die Antwort! Der Definitionsbereich ist gleich Unendlich.

Bei dem Ansatz mit dem Restglied könnte ich ja die Lagrange-Form verwenden und dann muss ich den Grenzwert davon finden, oder?

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Die Idee mit dem Restglied ist (gewissermaßen) der Standard-Ansatz.

Eine Alternative wäre, die Ableitungen beider Seiten zu untersuchen, die hier auf einen sehr bekannten Sachverhalt führt. Dann musst Du allerdings für die Ableitungen gleichmäßige Konvergenz nachweisen - was hier kein Problem ist.

Beachte übrigens den Def-Bereich der Reihen.

Ergänzt:
Wenn das Restglied gegen 0 konvergiert, dann stellt die TR die Funktion dar.

Der Definitionsbereich für die Reihe ist nicht "Unendlich"

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Danke für die Antwort!

Tatsächlich hatte ich mich da verrechnet, der Radius ist gleich 1.

Wieso muss ich gleichmäßige Konvergenz für die Ableitung nachweisen? Nicht für die Funktion?

Answer 1

Der erste Schritt wäre zu zeigen, dass die Ableitung von -log(1-x) mit der Ableitung von \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n\) übereinstimmt. Dann könnten sich die Funktion -log(1-x) und die Taylorreihe  \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n\) höchstens noch um eine Konstante unterscheiden.

Dann nimm zum Vergleich einen speziellen Funktionswert...

Comments

Danke!

Ich habe die Ableitung bestimmt, beide ergeben \(\frac{1}{1-x}\).

Ich soll also einen bestimmten Funktionswert nehmen, um zu sehen, um welche Konstante sie sich unterscheiden?
Reicht es einfach Null einzusetzen? Dann würde ja gelten, dass -log(1)=0 ist und die Taylorreihe ist auch gleich Null, folgt dann daraus, dass die Taylorreihe gleich der Funktion ist?

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Genau genommen muss man begründen, warum man die Reihe gliedweise differenzieren darf.

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Ok, das müsste man ja machen, in dem man zeigt, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert, oder?

Oder gibt es da noch eine andere Möglichkeit um das zu zeigen, dass sie gleidweise Diff'bar ist?

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Bedingung: Reihe konvergiert in mindestens einem Punkt und die Reihe der Ableitungen konvergiert gleichmäßig.

Alternativ: Jede Potenzreihe darf in ihrem Konvergenz Kreis gliedweise differenziert werden

Answer 2

Leite die zunächst unbekannte Funktion \(x\mapsto \sum\frac1nx^n\) ab. Das Ergebnis sollte Dir bekannt vorkommen. Danach integriere (Integrationskonstante nicht vergessen).

Comments

Danke!

Das habe ich gemacht, und das ist ja wirklich der Grenzwert der Geometrischen Reihe...

Wenn ich jetzt integriere, komme ich dann nicht genau auf die ursprüngliche Form plus einer Integrationskonstante?
Wie verfahre ich dann weiter?

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So soll es ja auch sein. Der Punkt ist, dass Du nun aber (hoffentlich) die Ableitung in geschlossener Form kennst.

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Ja, wenn du mit "geschlossener Form" meinst, dass ich sehe, dass das der Grenzwert der geometrischen Reihe ist, ja!

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Du kennst hoffentlich den Grenzwert der geometrischen Reihe (womit man die gR eben in geschlossener Form schreiben kann).