Aber woher weiß ich ob das jetzt ein Relativer oder Absoluter HOP und TIP ist?

Question

Ich habe in dieser Aufgabe die HOP und TIP berechnet Funktion lautet 2x^3 - 6x^1

Aber woher weiß ich ob das jetzt ein Relativer oder Absoluter HOP und TIP ist?

Comments

Funktion lautet 2x³ - 6x¹

Das ist keine Funktion. Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift enthält ein Gleichheitszeichen.

Die Funktion wäre x → y = f(x) = 2x³ - 6x

Du siehst hier zwei kubische Funktionen und es wird klar, dass die Hoch- und Tiefpunkte nicht absolut sein können.

---

Das ist auch nicht korrekt. Das ist nur die Funktionsgleichung.

Die Funktion wäre: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto 2x^3-6x\)

Die Angabe des Definitionsbereichs ist wesentlich.

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert ist, kann keine absoluten (globalen) Extrempunkte besitzen, da ihre Bildmenge \(\mathbb{R}\) ist.

Comments

Also sollte man mal nachfragen, ob der Definitionsbereich eventuell eingeschränkt ist.

---

Der Fragesteller hat zumindest geschrieben das die Funktion im Intervall [-8 ; -1] streng monoton steigend (sms) ist.

Also daraus würde ich eine untere Grenze des Definitionsbereichs erkennen.

Vermutlich kann auch noch jemand von euch die obere Grenze erkennen. Ich tu’ mich da ein wenig schwer.

---

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert ist, kann keine absoluten (globalen) Extrempunkte besitzen, da ihre Bildmenge \(\mathbb{R}\) ist.

Aber wenn es eine Definitionsbereich gibt z. B. 0 und 10, dann könnte es dort einen Absoluten Hoch und TIP geben oder?

---

Eine Funktion hat immer einen Definitionsbereich und du hast vergessen, diesen anzugeben! :-(

---

Vermutlich kann auch noch jemand von euch die obere Grenze erkennen. Ich tu’ mich da ein wenig schwer.

Für mich ist das keine -8, sondern \(-\infty\).

Aber wenn es eine Definitionsbereich gibt z. B. 0 und 10, dann könnte es dort einen Absoluten Hoch und TIP geben oder?

Dann gibt es in diesem Intervall definitiv absolute Extrema.

---

Es gibt keinen Definitionsbereich. In der Klammer ist ein - unendlich keine 8. Die funktion ist also auf ganz R zu beachten

---

@Apfelmännchen

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert ist, kann keine absoluten (globalen) Extrempunkte besitzen, da ihre Bildmenge \(\mathbb{R}\) ist.

Wenn man begründen muss ob es eine Lokale oder Absolute Extrema ist bei einer Funktion 3. Grades (ohne Vorgegebenen Definitionsbereich) reicht es dann zu schreiben das eine Funktion 3. Grades  keine Absoluten HP und TIP haben kann?

Ich weiß ja nicht mal ob man das rechnerisch beweisen kann.

---

Es kommt drauf an, wie genau man es nimmt. Hier würde dann ja die Begründung fehlen, warum eine Funktion 3. Grades das nicht haben kann. Da reicht aber die Argumentation mit dem Verhalten im Unendlich. Der Graph haut nach unendlich ab, sowohl negativ wie positiv.

---

Wie sieht es aus mit Funktion 4, 5,6  Grades ohne vorgeben Definitionsmenege auch keine Absoluten oder nur wenn der Deff. eingeschränkt ist ?

---

Wie gesagt, betrachte mal das Verhalten im Unendlichen. Dazu kannst du dir beispielhaft mal einige Funktionsgraphen zeichnen lassen.

Answer 2

Absolute Extrema können nur an denjenigen Extremstellen sein, an denen der größte oder kleinste Funktionswert vorliegt. Hat man also mehrere Hoch- und Tiefpunkt, kommen davon nicht unbedingt alle als absolute Extrempunkte in Betracht. Kannst du neben diesen Punkten noch Stellen finden, die einen größeren oder kleineren Funktionswert haben? Dann können die Extrema nicht absolut sein.

Ist eine Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert, reicht die Betrachtung sämtlicher Extrema sowie das Verhalten im Unendlichen, um zu prüfen, ob die Funktion überhaupt einen höchsten oder tiefsten Wert hat.

Ist eine Funktion nur auf einem Intervall definiert, zum Beispiel auf \([0; 100]\), so müssen neben den Extrema auch die Randwerte 0 und 100 geprüft werden. In diesem Fall gibt es stets einen größten und einen kleinsten Wert. Dieser liegt entweder bei einer Extremstelle oder am Rand.

Zumindest gelten diese Aussagen für ganzrationale Funktionen.