Für welches t beträgt dieser Flächeninhalt 12 Flächeneinheiten?

Question

Aufgabe:

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 1/2x hoch 2 und g(x) = 1/4 x hoch zwei - 1 und die Geraden x = t und x=-t begrenzen eine Fläche. Deren Flächeninhalt ist abhängig von t. Geben Sie diesen Flächeninhalt A (t) in Abhängigkeit von t an. Für welches t beträgt dieser Flächeninhalt 12 FE?

Problem/Ansatz:

Dies ist eine Übungsaufgabe für meine Klausur. Ich habe jedoch keinen Lösungsansatz außer vielleicht f(x) und g(x) gleichzusetzen und dann die Stammfunktion zu bilden? Könnte mir jemand die Aufgabe erklären und mir erläutern, was ich zu tun habe, damit ich die Aufgabe dann eigenständig lösen kann? Vielen Dank :)

Comments

Solche Aufgaben fängt man am besten mit einer Skizze an. Dann versteht man was zu tun ist und arbeitet nicht stupide ein Rezept ab. Wie sieht Deine Skizze aus und was erkennst Du daran?

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Wir haben hier im Forum denke ich die gleiche Aufgabe.

https://www.mathelounge.de/883038

Dort ist

g(x) = - 1/4*x^2 - 1

Könntest du also mal deine Funktion g(x) auf Vorzeichen kontrollieren? Kann natürlich sein, dass irgendein Lehrer beim Abschreiben einen Fehler gemacht hat. Man sollte nur ausschließen, dass man selber den Fehler gemacht hat.

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außer vielleicht f(x) und g(x) gleichzusetzen und dann die Stammfunktion zu bilden?

Dann hast Du eine Gleichung ohne y, also keine Funktion mehr, und wie willst Du davon eine Stammfunktion bilden?

Answer 1

Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x) = 1/2·x^2 - (1/4·x^2 - 1) = 1/4·x^2 + 1

Diese hat keine Nullstellen, daher schneiden die Graphen von f und g sich nicht.

Stammfunktion

D(x) = 1/12·x^3 + x

Fläche im Intervall [-t ; t] ist auch 2 mal die Fläche im Intervall [0 ; t]

A = 2·∫ (0 bis t) (1/4·x^2 + 1) dx = 2·D(t) = 2·(1/12·t^3 + t) = 12 --> t ≈ 3.219

Answer 2

Hallo.

Bilde zuerst die Differenzfunktion

d := f-g : |R —> |R, d(x) := f(x)-g(x)

= (1/2)x - (1/4)x = (1/4)x = g(x), also d = g.

Berechne dann das Integral der Funktion d in den Grenzen -t bis t bzw. im Intervall [-t, t] ⊂ |R.

Sei φ(t) für ein beliebiges t ∈ |R dann das berechnete Integral von d in [-t, t]. Hierbei definieren wir φ : U —> |R mit U ⊂ |R als die Funktion von t ist, welche bzgl. den Argumenten t die Integrale von d in [-t, t] angibt. (Also einen Wert, der von der Wahl von t abhängig ist).

Zuletzt löst du noch die Gleichung φ(t) = 12 nach t und bist fertig.

Comments

Vielen vielen Dank!!! Das t als Intervallgrenze ist mir gar nicht so aufgefallen, aber nach Ihrem Denkanstoß kann ich den Schritt nachvollziehen. Vielen vielen Dank, jetzt kann ich die Aufgabe lösen :)

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Das freut mich :)