Question

Berechnen Sie die Wendestellen des Graphen von f und entscheiden Sie begründet, ob es sich dabei um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von Gf handelt oder nicht.

f(x) = - 1/8·x^4 + 2·x^2

Ich habe die Aufgabe gemäß der Verbesserung im Kommentar geändert. Daher beziehen sich viele Antworten noch auf die falsche Funktion.

Answer 1

Deine Überlegungen sind alle richtig. Aus \(f''(x)> 0\) für alle \(x\) siehst Du, dass \(f'\) streng monoton steigend ist. Es gibt also keine max. Steigung, und auch keine minimale. Die Steigung läuft von \(-\infty\) nach \(\infty\).

Ist aber in der Tat merkwürdig als Lösung einer solchen Aufgabe. Hast Du die Funktion richtig abgeschrieben? Es sind auch schonmal Tippfehler in Aufgaben.

Comments

Du die Funktion richtig abgeschrieben? Es sind auch schonmal Tippfehler in Aufgaben.

Ach es ist - 1/8x^4  nicht + jetzt weiß auch warum die Aufgabe 6 Punkte wert ist....

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Aha, das ändert die Lage natürlich. Es gibt dann zwei Wendepunkte. Wenn Du nicht durchkommst, frag gerne nochmal nach.

Answer 2

f(x) = - 1/8·x^4 + 2·x^2 = 2·x^2 - 1/8·x^4
f'(x) = 4·x - 0.5·x^3
f''(x) = 4 - 1.5·x^2

Wendepunkte f''(x) = 0

4 - 1.5·x^2 = 0

x = - 2/3·√6 ≈ - 1.633 (VZW von - nach + und damit RL-Krümmungswechsel und damit eine lokale minimale Steigung)

f'(- 2/3·√6) = - 16/9·√6 ≈ - 4.355

x = 2/3·√6 ≈ 1.633 (VZW von + nach - und damit LR-Krümmungswechsel und damit eine lokale maximale Steigung)

f'(2/3·√6) = 16/9·√6 ≈ 4.355

Hier auch noch die Wendepunkte

f(- 2/3·√6) = 40/9 ≈ 4.444 --> WP1(- 2/3·√6 | 40/9)

f(2/3·√6) = 40/9 ≈ 4.444 --> WP2(2/3·√6 | 40/9)

Comments

2·x^2 - 1/8·x^4

Warum stellst du um?

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Warum stellst du um?

Frei nach Herrn Lambi: Weil ich's kann.

Aber etwas ernster: Weil diese Funktion und die Ableitungen dann schöner lesbar sind und man sich immer ein "+"-Zeichen spart.

Man muss es nicht machen, viele finden es allerdings schöner, wenn man es macht.

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In der Regel ordnet man die Summanden eines Polynoms nach fallenden Exponenten.

Davon darf man abweichen, wenn man nur zwei Summanden hat und ein Summand positiv und der andere negativ ist. Dann schreibt man diese Summe üblich als Differenz

- a·x^2 + c = c - a·x^2

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viele finden es allerdings schöner, wenn man es macht.

Ich hätte gesagt: Man vermeidet so das Minus vor einem Term und beseitigt so eine Gefahrenquelle: die, es zu vergessen im weiteren Verlauf.

Ansonsten: Über Geschmack ...

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In der Regel ordnet man...

Diese Regel gibt es nicht. Manche machen es so, manche so. Je nach Situation ist das eine bequemer oder das andere.

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Nenn das, was ich "in der Regel" nenne gerne anders. Auf jeden Fall halten sich fast 100% aller Schulbuchverlage daran. Außer die Aufgabe gebietet eine andere Schreibweise.

Und CAS oder MMS Systeme halten sich auch meist daran.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=expand+Power%5B%5C%2840%291-x%5C%2841%29%2C3%5D

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Genau, ich nenne es eine persönliche Beobachtung Deinerseits, aus der Du eine "Regel" abliest, ohne Berücksichtigung des Zusammenhangs.

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Kann es auch sein, dass die Stärkste Steigung/Wachstum negativ ist, oder ist es immer positiv?

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Die größte Steigung könnte theoretisch auch negativ sein.

Das liegt aber nur daran, dass es auch negative Steigungen gibt, die dann eigentlich ein Gefälle sind.

y = - (x^3 + x)

~plot~ -(x^3+x) ~plot~

In der Abbildung ist die größte Steigung -1.

Ich erspare mir den Ausdruck "in der Regel" zu erläutern. Aber vielleicht sollte man das mal nachlesen, wenn man denkt, es muss immer eine Regel befolgt werden.

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Ich wollte die Monotonie berechnen der Funktion und habe unten links den LFZ gebildet von f,(x) aber da kommt was anderes raus als oben rechts wo ich nur eine Zahl eingesetzt habe, um schauen ob größer oder kleiner ist als 0.

Jedoch muss doch das gleiche rauskommen unten, wenn ich im Teil ohne Taschenrechner bin wollte ich eigentlich die Methode unten links benutzen also NS berechnen und LFZ aufstellen und schauen wo — und wo +

Wo liegt mein Fehler da unten wo die gelben Fragezeichen sind muss ja anders sein?

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In der 3. Spalte muss unten "+" stehen und in der 4. unten "-" und dann ist es genau das gleiche wie in der anderen Tabelle. Werte das Vorzeichen des Produkts richtig aus (das der einzelnen Faktoren stimmt).

Answer 3

Bis jetzt bin ich soweit gekommen, die Funktion hat keine Wendestelle,

Das ist richtig (und auch ohne Rechnung offensichtlich).

bedeutet es, dass die Funktion jetzt keine maximale Steigung hat?

Ja.

Comments

So so, nachdem der FS mal wieder seine ursprüngliche Frage in einem wesentlichen Punkt nachträglich korrigiert hat, geht es also nun um diese Funktion: $$f(x) = -\dfrac{1}{8}\cdot x^4 + 2\cdot x^2$$ Die Aufgabe dazu lautet immer noch:

Berechnen Sie die Wendestellen des Graphen von \(f\) und entscheiden Sie begründet, ob es sich dabei um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von \(G_f\) handelt oder nicht.

Wie machen wir das? Ich schlage die folgende Vorgehensweise vor:

Zunächst überlegen wir, ob es überhaupt Wendestellen gibt und falls ja, wieviele. Das Globalverhalten der Funktion \(f\) wird bestimmt durch die Potenzfunktion \({y=-\dfrac{1}{8}\cdot x^4}\), während ihr Verhalten in der Nähe von \(x=0\) von der quadratischen Funktion \({y=x^2+0}\) geprägt wird. Daraus folgt zwingend, dass \(f\) genau zwei Wendestellen besitzen muss. Somit sind die Voraussetzungen gegeben, um mit der eigentlichen Aufgabe anzufangen.

Ausnahmsweise beginnen wir mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Natürlich handelt es sich bei den beiden Wendestellen "um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von \(G_f\)", denn sonst wären es ja keine Wendestellen. Diese zweite Überlegung reicht vermutlich nicht aus, um einige von den sechs Punkten zu bekommen. Allerdings folgt aus der Vorüberlegung auch, dass die linke Wendestelle "eine Stelle mit maximaler negativer Steigung" sein muss und die rechte "eine Stelle mit maximaler positiver Steigung". Allerdings gilt das nur in der Nähe der beiden Wendestellen, denn aufgrund des Globalverhaltens finden sich weiter weg Stellen mit noch größerer "positiver bzw. negativer Steigung".

Für diese völlig rechenfreie, begründete Entscheidung kassieren wir gerne vier von den sechs Punkten. Bleiben noch zwei Punkte für den ersten Teil der Aufgabe. Die bekommen wir wohl nur, wenn wir tatsächlich mal etwas rechnen. :-)

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Das Globalverhalten der Funktion \(f\) wird bestimmt durch die Potenzfunktion \({y=-\dfrac{1}{8}\cdot x^4}\), während ihr Verhalten in der Nähe von \(x=0\) von der quadratischen Funktion \({y=x^2+0}\) geprägt wird. Daraus folgt zwingend, dass \(f\) genau zwei Wendestellen besitzen muss.

Kannst du das mit y = x^2 + 0 genauer erläutern, eventuell nicht so "mathematisch" wie man feststellen kann, das die Funktion 2 Wendestellen haben muss bzw. woher du das weißt ?

Man lernt jeden Tag was neues hier

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Das ist ein anschauliches Argument und die Ausführungen sind auch nicht ganz korrekt. Das Verhalten nahe 0 wird durch den Summanden mit dem niedrigsten Exponenten (und ggf. dem Absolutglied) bestimmt. Hier also \(2x^2+0\). Der Graph deiner Funktion verhält sich in der Nähe von 0 also wie \(2x^2\). Das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Funktiongraph von \(f\) geht jedoch gegen \(-\infty\). Es muss also zwei Krümmungswechsel und damit Wendestellen geben.

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O je, ich habe beim Kopieren die 2 verloren... :-(

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Kann man somit bei jeder Funktion schauen ob es eine Wendestelle hat oder war das hier nur Zufall?

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Nein, nicht bei jeder. Aber gelegentlich ist eine Argumentation über den Verlauf eben doch möglich.

Answer 4

Hallo.

Vorab: Die Wendestellen einer Funktion sind die Extremstellen ihrer ersten Ableitungsfunktion. Wir werden hier also zeigen, das die Ableitung von g keine Extrema annimmt und f damit keine Wendestellen haben kann.

Die Funktion f : |R —> |R, f(x) := x^4 / 8 + 2x^2 ist in |R zweimal differenzierbar und hat für alle x ∈ |R die Ableitungen g(x) := f’(x) = x^3 / 2 + 4x und g’(x) = 3x^2 /2 + 4. Falls f Wendestellen hätte, so wären das die Extremstellen der Funktion g, welche die erste Ableitung von f ist. Jedoch wird die Funktion g : |R —> |R für kein x ∈ |R extremal (maximal oder minimal).

Der Grund ist, das g als ungerade Polynomfunktion auf |R definiert, surjektiv ist. Denn g ist erstmal stetig als ungerade Polynomfunktion im kompletten |R.

Weiterhin gilt f(x) —> inf für x —> inf, so wie vorallem f(x) —> -inf für x —> -inf.

Übrigens ist die Funktion g für alle x ∈ |R strengmonoton steigend, denn für dessen Ableitung gilt dann für alle x ∈ |R dann die Abschätzung g’(x) = f’’(x) = 3x^2 / 4 + 4 > 0. (Eine Funktion ist strengmonoton steigend, falls ihre Ableitung echt positiv ist)

Insgesamt folgt dann also g(|R) = |R und |R ist unbeschränkt. Das und die strenge Monotonie zeigt, das g keine Extrema haben kann und somit auch keine Extremstellen, also f keine Wendestellen.

Comments

Das zeigt, das g keine Extrema haben kann und somit auch keine Extremstellen, also f keine Wendestellen.

Das ist im Allgemeinen völliger Käse. Betrachte \(f(x)=x^3-x\). Das hat dieselben Eigenschaften, ist unbeschränkt, besitzt aber zwei Extrema. Außerdem wurde oben in den Kommentaren bereits geklärt, dass die Funktion eine andere ist. Das sollte man manchmal vielleicht einfach mal lesen, bevor man eine dritte Antwort gibt, die noch einmal die Resultate des FS wiederholt und zusätzlich mathematische Fehler enthält.

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Ich bin ehrlich, ich habe nix verstanden weder Extremal noch surjektiv

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@Apfelmännchen Nein! Das ist falsch.

Die Funktion f(x) := x^3 - x, x ∈ |R hat eben nicht dieselben Eingenschaften. Die Ableitung ist u(x) := f’(x) = 3x^2 - 1, x ∈ |R.

Dann gilt lim (x —> +/- inf) u(x) = inf und da u stetig ist, gilt u(|R) = [c, inf), wobei hier gerade c = min(u(|R)) = -1 ist.

@nudger Das wurde nirgends so erwähnt.

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@Maxi3322

,,Surjektiv’’ heisst hier einfach nur, das die Bildmenge f(|R) = {f(x) : x ∈ |R} von der polynomialen Funktion f : |R —> |R der komplette Zielbereich |R selbst ist, es gilt also f(|R) = |R.

Was verstehst du unter extremal nicht? Das ist der allgemeine Begriff für maximal und minimal.

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@nudger Das wurde nirgends so erwähnt.

Falsch. Lesen hilft.

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@nudger Nenne mir genau, was ich angeblich widerholt habe. Übrigens geht es ja um die Funktion g := f’, da die Wendestellen von f, die Extremstellen von g wären, falls sie existieren würden.

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 @Maxi Diese Diskussion richtet sich nicht an Dich. Ignorier's einfach.

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@nudger Diese Diskussion ist einfach unsinnig. Ich weiss nicht worauf du hinaus möchtest. Du kannst mir immernoch nicht präzise und genau deine Kritik nennen.

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@Txman:

Nein! Das ist falsch.

Es wundert mich überhaupt nicht, dass du mein Beispiel nicht verstanden hast. Mein Beispiel hat dieselben Eigenschaften wie dein \(g\): ungerades Polynom, surjektiv, unbeschränkt und stetig differenzierbar. Mit DIESEN Eigenschaften schlussfolgerst du die Nicht-Existenz von Extrema. Mein Beispiel zeigt aber, dass es mit DIESEN Eigenschaften sehr wohl Extrema geben kann.

Außerdem solltest du nicht mit Begriffen umherwerfen, die nicht in der Schule behandelt werden. Dir wurde nun schon häufiger gesagt, dass das Niveau deiner Antworten nur in den seltensten Fällen zum Niveau des FS passt und du mit deinen Antworten daher eher Verwirrung stiftest als zum Verständnis beizutragen.

Und noch etwas: Hat man dir nicht schon einmal erklärt, dass du die Meldefunktion nicht missbrauchen sollst, um auf Kommentare zu antworten?

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Ich entschuldige mich. Du hast Recht. Ich habe eine wichtige letzte Eigenschaft vergessen. Habe es jetzt noch dazugefügt, was nun insgesamt richtig sein müsste.

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@Maxi3322 Ich hatte eine wichtige Sache vergessen. Habe das jetzt korrigiert nach dem Hinweis von Apfelmännchen. Schau dir das nochmal an und frage gerne nach bei Unklarheiten.

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Insgesamt folgt dann also g(|R) = |R und |R ist unbeschränkt. Das zeigt, das g keine Extrema haben kann und somit auch keine Extremstellen, also f keine Wendestellen.

Diese Formulierung (2.10., 10:30 Uhr) ist nach wie vor falsch.

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@Mathhilf

Was genau ist daran falsch? Du musst schon begründen… Ansonsten ist deine Aussage ein sinnloser Vorwurf!

Warum schreibst du dann noch das Datum dazu?

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Begründung hat Apfelm schon gegeben, s.o.

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Den Hinweis von Apfelmännchen habe ich schon längst berücksichtigt. Wenn das es war, was du anmerken wolltest, bist du zu spät.

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Die zitierte Formulierung ist falsch: Dass g(R)=R ist, zeigt nichts über Wendestellen von f

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Jetzt nicht mehr.

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Deshalb die Zeitangabe

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Ich habe es ja jetzt auch nicht verweigert :)

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Insgesamt folgt dann also g(|R) = |R und |R ist unbeschränkt. Das und die strenge Monotonie zeigt, das g keine Extrema haben kann und somit auch keine Extremstellen, also f keine Wendestellen.

Das ist unnötig viel gefordert und frisst den Kern der Antwort.

Ist \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) streng monoton, so besitzt \(f\) keine (lokalen oder globalen) Extrema. Stetigkeit, Beschränktheit, Surjektivität, Grenzwertbetrachtungen sind allesamt irrelevant. Tatsächlich hätte also folgendes genügt, um das Behauptete zu belegen:

Übrigens ist die Funktion g für alle x ∈ |R strengmonoton steigend, denn für dessen Ableitung gilt dann für alle x ∈ |R dann die Abschätzung g’(x) = f’’(x) = 3x2 / 4 + 4 > 0.
[Da f also streng monoton steigende Funktion R->R ist, besitzt f keine Extrema.]

Im Übrigen ist die originale Fragestellung mit Schulmitteln zu lösen. So technisch müssen wir eigentlich gar nicht werden, aber wenn schon dann auch korrekt. Es hätte konkret dem FS genügt, intuitiv zu untersuchen, was mit der zweiten Ableitung passiert.

Irgendwo ist noch ein Minuszeichen beim x^4 verschwunden, aber vielleicht könnte das auch an der bearbeiteten Frage liegen.