Hallo.
Vorab: Die Wendestellen einer Funktion sind die Extremstellen ihrer ersten Ableitungsfunktion. Wir werden hier also zeigen, das die Ableitung von g keine Extrema annimmt und f damit keine Wendestellen haben kann.
Die Funktion f : |R —> |R, f(x) := x^4 / 8 + 2x^2 ist in |R zweimal differenzierbar und hat für alle x ∈ |R die Ableitungen g(x) := f’(x) = x^3 / 2 + 4x und g’(x) = 3x^2 /2 + 4. Falls f Wendestellen hätte, so wären das die Extremstellen der Funktion g, welche die erste Ableitung von f ist. Jedoch wird die Funktion g : |R —> |R für kein x ∈ |R extremal (maximal oder minimal).
Der Grund ist, das g als ungerade Polynomfunktion auf |R definiert, surjektiv ist. Denn g ist erstmal stetig als ungerade Polynomfunktion im kompletten |R.
Weiterhin gilt f(x) —> inf für x —> inf, so wie vorallem f(x) —> -inf für x —> -inf.
Übrigens ist die Funktion g für alle x ∈ |R strengmonoton steigend, denn für dessen Ableitung gilt dann für alle x ∈ |R dann die Abschätzung g’(x) = f’’(x) = 3x^2 / 4 + 4 > 0. (Eine Funktion ist strengmonoton steigend, falls ihre Ableitung echt positiv ist)
Insgesamt folgt dann also g(|R) = |R und |R ist unbeschränkt. Das und die strenge Monotonie zeigt, das g keine Extrema haben kann und somit auch keine Extremstellen, also f keine Wendestellen.
