Formale und informale Negation

Question

Aufgabe:

Negieren Sie die folgenden Aussagen sowohl formal als auch umgangssprachlich. Vereinfachen Sie die Negation, wenn möglich.:
(a) [∀x ∈ M : ¬L(x)] ⇒ [∃x ∈ M : Z(x)]
(b) ∃x ∈ M : ∀y ∈ M : ¬A(x, y)

Problem/Ansatz:

Bei a) hätte ich formal  [∃x ∈ M : L(x)] ⇒ [∀x ∈ M : ¬Z(x)] raus, bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist.

Bei b) weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, da ∃x ∈ M : ∀y ∈ M mich verwirrt.

Vielen Dank im voraus.

Comments

Zur Veranschaulichung kannst du dir 2 Aussagen ausdenken:

a) x = Menge aller Gourmets, L: kann kochen

Z: macht den Abwasch

Verneinung in Worten: Es trifft nicht zu, dass, wenn alle Gourmets nicht kochen können, daraus folgt, dass mindestens ein Gourmet abwäscht.

Fazit:

Es gibt eine Situation, in der alle Gourmets nicht kochen können und dennoch keiner der Gourmets abwäscht.

Answer 1

Nein, stimmt nicht.

In a) ist eine Folgerung zu negieren. Merke: Die Negation einer Folgerung ist keine Folgerung, sondern eine und-Aussage. Denn \((A\implies B)\iff (\neg A\lor B)\). Negiere also mit deMorgan. Die beiden Teilaussagen hast Du richtig negiert.

In b) Mit einem Quantor kannst Du's (siehe a)), bei zwei streikst Du? Warum? Es geht genauso, zur Negation einfach die Quantoren umdrehen und die Aussage am Ende negieren.

Comments

Ich sehe, dann muss bei a) also [∃x ∈ M : L(x)] ∧ [∀x ∈ M : ¬Z(x)] sein?

Bei b): Wäre dann ∀x ∈ M : ∀y ∈ M : A(x, y) richtig? Vielen Dank für die Antwort!

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Nein. Zu a): Kennst Du die deMorgan-Regel? Hier brauchen wir \(\neg (\neg A\lor B) \iff A\land \neg B\).

Zu b): Schrittweise von links nach rechts vorgehen: Du weißt ja: \(\neg [\exists x\, B(x)]\iff \forall x\, \neg B(x)\). Hier ist nun \(B(x) = \forall y\, \neg A(x,y)\). Schreib Dir die Zwischenschritte auf.

Answer 2

Negation von \(A\implies B\) ist \(A\wedge \neg B\). Das kann man mit einer Wahrheitstafel feststellen.

Mit einer Wahrheitstafel kann man ebenfalls feststellen, dass \(A\wedge \neg B\) nicht äquivalent zu \(\neg A \implies \neg B\) ist.

(a) [∀x ∈ M : ¬L(x)] ⇒ [∃x ∈ M : Z(x)]

Sei \(A\) die Aussage \(\forall x \in M : \neg L(x)\) und \(B\) die Aussage \(\exists x \in M : Z(x)\).

Bei a) hätte ich formal [∃x ∈ M : L(x)] ⇒ [∀x ∈ M : ¬Z(x)] raus

Das ist \(\neg A \implies \neg B\), also falsch.

Du scheinst aber die Regel zu kennen, wie man \(\exists x \in M : P(x)\) negiert, nämlich \(\forall x\in M: \neg P(x)\). Wende diese an, um

(b) ∃x ∈ M : ∀y ∈ M : ¬A(x, y)

zu negieren.

Tipp. \(P(x) = \forall y \in M : \neg A(x, y)\).