Integral von cos^2(x).

Question

Text erkannt:

\( f) \)
\( \begin{aligned} & \int \cos ^{2}(x) d x \\ = & \int \cos (x) \cdot \cos (x) d x \end{aligned} \)
\( \begin{array}{ll} a(x)=\cos (x) & u^{\prime}(x)=-\sin (x) \\ v(x)=\sin (x) & v^{\prime}(x)=\cos (x) \\ =\cos (x) \cdot \sin (x)-\int-\sin (x) \sin (x) d x \\ u(x)=\sin (x) & u^{\prime}(x)=\cos (x) \\ v(x)=\cos (x) & v^{\prime}(x)=-\sin (x) \\ =\cos (x) \sin (x)-\sin (x) \cos (x)-\int \cos (x) \cdot \cos (x) d x \\ =\cos (x) \sin (x)-\sin (x) \cos (x)-\int \cos ^{2}(x) d x \end{array} \)
\( \begin{aligned} \int \cos ^{2}(x) d x & =\frac{\cos (x) \sin (x)-\sin (x) \cos (x)}{2} \\ & = \end{aligned} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:kann das bitte einer kontrollieren bzw. den fehler mir sagen

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Du würdest hier mit der partiellen Integration nur bedingt weiterkommen. Du hast einen Vorzeichenfehler, denn vor dem zweiten Integral steht ein Minus, also muss vor dem dritten Integral ein Plus stehen. Dann hättest du also 0=0 und nichts gewonnen.

Nutze nach der ersten partiellen Integration den trigonometrischen Pythagoras und schreibe \(\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\). Das spart dann auch die zweite partielle Integration.

Answer 2

Aloha :)

Verwende die bekannte Identität:$$\cos^2(x)=\frac12+\frac12\cos(2x)$$um das Integral sofort hinzuschreiben:$$\int\cos^2(x)\,dx=\frac x2+\frac14\sin(2x)+C$$

Wenn du das Integral partiell lösen musst:$$\int\cos^2(x)\,dx=\int\underbrace{\cos(x)}_{u'}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{=v}\,dx=\underbrace{\sin(x)}_{u}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{=v}-\int\underbrace{\sin(x)}_{u}\cdot\underbrace{(-\sin(x))}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{\int\cos^2(x)\,dx}=\sin(x)\cdot\cos(x)+\int\pink{\sin^2(x)}\,dx$$$$\phantom{\int\cos^2(x)\,dx}=\sin(x)\cdot\cos(x)+\int\left(\pink{1-\cos^2(x)}\right)\,dx$$$$\phantom{\int\cos^2(x)\,dx}=\sin(x)\cdot\cos(x)+x-\int\cos^2(x)\,dx$$

Jetzt bringst du das Integral über \(\cos^2(x)\) von der rechten auf die linke Seite und dividierst beide Seiten der Gleichung durch \(2\).

Comments

Ich denke nicht, dass diese Identität so bekannt ist. Aber das ist natürlich sehr elegant. Beantwortet allerdings nicht die Frage, wo der FS seinen Fehler gemacht hat.

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Ich habe nach Hinweis von Apfelmännchen noch die Rechnung mit partieller Integration ergänzt und die entscheidende Stelle für den Fragensteller in pink markiert.

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Finde ich ehrlich gesagt eine Sauerei, dass du dem FS meinen Ansatz vorrechnen musst, anstatt ihm das selbst zu überlassen.

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Bitte mäßige dich in deiner Wortwahl!

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Halt dich da raus und schreibe Peinlichkeiten zu Altfragen.