Welche der ersten 3 Peano Axiome also P1,P2,P3 erfüllt die leere Menge?

Question

Aufgabe:

Welche der ersten 3 also P1,P2,P3 erfüllt die leere Menge?

Problem/Ansatz:

Ich bin der Meinung, dass nur das P3 erfüllt wird also dass es keinen Nachfolger für die Zahl 1 gibt. P1 ist ja klar es gibt kein Element 1 in der leeren Menge. Jetzt zum Problem:

Jetzt wird mir aber von jemanden gesagt dass auch P2 erfüllt wird, da es keine Elemente in der Leeren Menge gibt, deshalb kann man P2 nicht beweisen . Man kann ja zB aus A=>B (Aus A folgt B) wenn A falsch ist folgern dass B wahr ist.. das war seine erklärung. Was sagt ihr dazu? weiß jemand die Antwort?

Comments

Solltest du nicht mal mitteilen, was mit P1, P2 und P3 gemeint ist???

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sorry es geht um die peano-axiome

N=Natürliche Zahlen

(P1): Es gibt ein Element 1 in N.

(P2): Jedes Element n ∈ N hat genau einen Nachfolger

n′ ∈ N, wobei zwei verschiedene Elemente von N immer verschiedene Nachfolger haben.

(P3): 1 ist nicht Nachfolger eines Elements von N.

Answer 1

Die Peano-Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen, mir erschließt sich nicht, warum man das für die leere Menge prüfen will.

Aber theoretisch kann man das machen.

Und "jemand" hat recht, denn die Aussage "\(\forall n:\; n\in N \Longrightarrow n\) hat genau einen Nachfolger in N" ist wahr, weil \(n\in N\) als Prämisse stets falsch ist.

P3 ist zwar formal wahr, aber was ist denn hier 1? Das ist in P1 definiert, aber P1 ist ja nicht erfüllt.

Comments

genau P1 ist nicht erfüllt. man sollte ja schauen welche der drei p1,p2,p3 erfüllt sind oder nicht. war halt ne uni aufgabe.

Aber für (P2) ist doch vorausgesetzt, dass man zwei Elemente braucht. und die gibt es nicht in der leeren Menge. Da die leere Menge keine Elemente beinhaltet.

Also es ist doch schon der erste Teil des (P2) Axiom falsch

"Jedes Element n ∈ N hat genau einen Nachfolger"

denn es gibt kein Element in der leeren Menge also kann es auch kein Nachfolger geben.

Vielen Dank für deine Hilfe