Für welchen Wert k_2 ist das Volumen des Rotationskörpers maximal?

Question

Aufgabe:

Die vom Graphen von f_k mit f_k(x) = k-2 /k^2 *x*(2-x) begrenzte Fläche rotiert um die x-Achse. Für welchen Wert k>2 ist das Volumen des Rotationskörpers maximal? Wie groß ist dieser maximale Rauminhalt?

Problem/Ansatz:

Ich weiß das das Volumen bei k=4 maximal ist, jedoch komme ich nicht auf das richtige Volumen am Ende. Ich habe immer Pi/60 raus und nicht 2/15 Pi. Kann mir wer helfen??

Comments

Dann solltest du einmal deine Rechnung zeigen, damit man dir auch sagen kann, was bei dir schiefgegangen ist.

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Genau. Einen Rechenweg kannst Du Dir mit integralrechner.de anzeigen lassen, dazu brauchst Du kein Forum. Wenn Du Deinen Fehler nicht findest, lade Deine Rechnung hoch, dann können wir helfen.

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Naja ich habe k=4 in die gleichung eingesetzt und dann die klammer aufgelöst(fk(x) = 1/4 x - 1/8 x^2) und dann das Volumen mit der Formel berechnet. Komme am Ende dann auf 1/60 Pi aber die Lösung ist 2/15 Pi

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Das letzte hast Du schon gesagt. Den Faktor gleich reinmultiplizieren (anstatt erst am Ende) erhöht das Risiko für Fehler, anscheinend ist beim Integrieren was schief gegangen. Alles weitere s.o.

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Und möglicherweise hast du bei

fk(x) = k-2 /k² *x*(2-x)

eine Klammer vergessen?

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Naja wenn man die Funktion dann quadriert ist es dann 1/16 x^2 - 1/16 x^3 + 1/64 x^4.

Dann die stammfunktion bilden und vor dem Integral mit Pi rechnen, aber egal wie ich es probiere sind es 1/60 pi

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Ne eigentlich habe ich keine klammer vergessen

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Naja wenn man die Funktion dann quadriert

Welche Funktion?

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Zudem hast Du sehr wohl Klammern vergessen, wenn man auf die abfotographierte Aufgabe schaut. Dort steht ein Produkt mit drei Faktoren. Bei Deiner Frage steht eine Differenz bei der der Subtrahend drei Faktoren hat.

Answer 1

Auf deinen handschriftlichen Notizen ist k-2 in Klammern. In deinem Beitrag hier war das nicht so. Meine Bemerkung zu den fehlenden Klammern war also berechtigt.

Die Aufgabe ist schlampig formuliert (nicht deine Schuld). Der Graph begrenzt eine Flächen im Intervall von -∞ bis  +∞.

Gemeint ist vermutlich nur die Fläche im Intervall zwischen den Nullstellen. Diese sind (unabhängig vom Wert des Terms \( \frac{k-2}{k^2} \)) 0 und 2. Die rotierende Fläche (und damit das Rotationsvolumen) sind maximal, wenn der Streckungsfaktor  \frac{k-2}{k^2} \)) maximal ist. Das ist tatsächlich bei k=4 der Fall.

Mit k=4 ist die Funktionsgleichung f(x)=\( \frac{-x^2+2x}{8} \).

Das Quadrat davon ist \( \frac{x^4-4x^3+4x^2}{64} \).

Eine Stammfunktion davon ist \( \frac{\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4}{3}x^3}{64} \).

Answer 2

Zu den Faktoren s.o..

Hier ist \((f(x))^2=\frac1{64}(x^4 - 4x^3+ 4x^2)\) und damit \(V=\frac{\pi}{60}\).

Du hast alles richtig gemacht.

Comments

Jaa so kommt man auf das Endergebnis, aber wieso bin ich dumm das quadrieren zu verstehen? Wenn man im Taschenrechner 1/4 zum Quadrat eingibt kommt 1/16 raus??

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Ich korrigiere, Du hast recht, der Faktor mit dem \(k\)-Kram muss ja auch quadriert werden. Dann kommt man auch auf Dein Ergebnis, korrekt ist also \(\frac\pi{60}\).

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Jaaa aber in den Lösungen ist es 2/15 Pi, mhh ich probiers einfach nochmal

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Lösungen können auch fehlerhaft sein ...

Answer 3

Für k = 4 ist f(x) eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei 0 und 2 und dem Scheitel bei (1 | 1/8).

Damit kannst du das Volumen nach oben abschätzen mit pi*(1/8)^2*2 = pi/32. D.h. ein Volumen von 2/15*pi kann überhaupt nicht sein. Dein Volumen von pi/60 ist völlig richtig.

Du siehst, wenn man sich unsicher ist, kann man sich das durchaus mal aufzeichnen und versuchen das Volumen einfach mal abzuschätzen.

Die Berechnung eines Rotationsintegrals mit dem TR würde dir dann auch dein Ergebnis bestätigen.