Gibt es jetzt überhaupt eine Extremstelle?

Question

Aufgabe:

Untersuche die Polynomfunktion in Hinblick auf Monotonie, Krümmung, Hoch- und
Tiefpunkte, Terrassenpunkte und Wendepunkte! Skizziere den Graphen von f!

f(x) = – x³ + 3x² – 3x

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei der Monotonie. Wir wissen ja das es eine Polynomfunktion 3. Grades ist. Wenn man sie zeichnet dann geht sie streng monoton fallend nach rechts. Man kann ja die Extremstellen berechnen und dann kommt 1 heraus aber ist das wirklich die Extremstelle es ist ja der einzige Punkt an dem die Funktion die X Achse schneidet. Und das ist ja eine Terassenstelle. Ich habe bezüglich des Monotonieverhaltens die Extremstellen und Nullstellen berechnet. die sind beide 1. dann habe ich Intervalle aufgestellt. das erste von -unendlich bis 1 und das zweite von 1 bis unendlich. dann habe ich mir jeweils einen Punkt vom Intervall genommen und in die erste Ableitung eingesetzt und dann sehe ich ja das sie von - unendlich bis 1 und von 1 bis unendlich streng monoton fallend ist. Gibt es jetzt überhaupt eine Extremstelle? man kann ja eine berechnen aber bei einer Extremstelle ändert sich doch immer das Monotonieverhalten. Und wie kann ich rechnerisch beweisen das sie immer streng monoton fallend ist und und nicht nur monoton fallend? Ich zerbrech mir hier grad den Kopf.

Comments

Wenn man sie zeichnet dann geht sie streng monoton fallend nach rechts. Man kann ja die Extremstellen berechnen und dann kommt 1 heraus aber ist das wirklich die Extremstelle...

Wäre x=1 eine Extremstelle, dann kann der Graph dieser Funktion nicht streng monoton sein.

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ich habe gerade gecheckt das es auch eine terassenstelle sein kann. aber wie beweise ich jetzt das monotonieverhalten rechnerisch

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Bestimme die Steigung der Wendetangente, vergleiche diese mit dem Leitkoeffizienten \((-1)\), und ziehe dann deine Schlüsse daraus!

Answer 1

man kann ja eine berechnen aber bei einer Extremstelle ändert sich doch immer das Monotonieverhalten.

Ist das hier der Fall? Nein, also liegt keine Extremstelle vor.

Das nennt sich auch hinreichende Bedingung für Extremstellen. Man prüft, ob an der Stelle in der ersten Ableitung ein Vorzeichenwechsel, also ein Wechsel der Monotonie vorliegt. Nur dann handelt es sich um eine Extremstelle, sonst nicht.

Ganzrationale Funktionen sind zwischen zwei Extrempunkten immer streng monoton.

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ich glaube ich habe es verstanden nur noch 1 Frage: die funktion ist monoton oder streng monoton fallend? kann die wendestelle beeinflussen ob es sich von streng monoton fallend zu monoton fallend ändert? also kommt bei einer wendestelle 1 y Punkt mindestens zweimal vor oder immer nur einer

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Du meinst Extremstelle, denn eine Wendestelle sagt ja nichts über das Monotonieverhalten. An einer Extremstelle gilt zwar \(f'(x)=0\), das verletzt aber nicht die strenge Monotonie, weil es ja nur an dieser einen Stelle ist.

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alles klar danke

Answer 2

Wenn \(f'(x)\le 0\) ist für alle \(x\), ist \(f\) monoton fallend. Das ist hier der Fall und auch leicht an der Gestalt von \(f'\) zu sehen (quadratische Ergänzung!). Es gibt nur eine Stelle mit \(f'(x)=0\) (weißt Du ja schon), da ist aber kein Extremum (weißt Du auch schon). In diesem Fall ist \(f\) sogar streng monoton fallend (auch wenn an einer Stelle \(f'(x)=0\) ist).

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aber die wendestelle ist nur 1 genauer punkt oder also ihr wird nur 1 y wert zugeteilt und nicht 2?

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Eine Wendestelle ist eine Stelle (d.h. ein x-Wert) und kein Punkt (d.h. kein (x,y)). Und ja, natürlich gehört zu einem x-Wert genau ein y-Wert, es ist ja eine Funktion.