Maßtheorie und Stetigkeit

Question

Hallo liebe Forennutzer,

ich hätte einmal nach langer Zeit eine Frage. Es ist ein Thema, wo ich mich noch etwas mehr daran gewöhnen muss. Es geht hauptsächlich um die Maßtheorie…

Zur Aufgabe dazu:

Gegeben sei eine monoton steigende Funktion

f : |R —> |R, die Menge S := {(a,b] : a ≤ b} ⊆ P(|R) und die und die Abbildung

μ : S —> |R, μ((a,b]) := f(b)-f(a).

Zeige: Ist μ ein Prämaß. Dann gilt: Die Funktion f ist für jedes beliebige d ∈ |R rechtsseitig stetig, D.h. äquivalent für alle d ∈ |R gilt : lim (d < x —> d) f(x) = f(d).

Wie gehe ich hier vor? Also ich bräuchte so einen guten Tipp (keine Lösung bitte!) und würde mich darauf sehr freuen.

Liebe Grüße,

Txman

Comments

Hallo Txman,

überprüfe bitte die Aufgabenstellung. Nicht jede monoton steigende Funktion \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ist rechtsseitig stetig (überlege dir ein Gegenbeispiel). Anders sähe es aus, wenn \(\mu\) als stetig von oben vorausgesetzt wäre. Übrigens muss man sich hier ein paar Gedanken zur Wohldefiniertheit von \(\mu\) machen...

Viele Grüße, Tobias

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f soll ja auch nicht wegen der Monotonie rechtsseitig stetig sein, sondern wegen der Prämaß-Eigenschaft von der Inhaltsfunktion μ

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Wenn \(\mu\) ein Prämaß sein soll, dann muss das in den Voraussetzungen erwähnt werden. Die Einordnung der Frage in den Bereich Maßtheorie und die Verwendung des Buchstabens \(\mu\) als Bezeichner der Funktion reichen nicht aus, um die Funktion \(\mu\) als Prämaß zu festzulegen.

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Der Satz ,,Ist μ ein Prämaß‘‘ wurde irgendwie gelöscht. Habe es jetzt bearbeitet. Du hast völlig Recht. Das ist hier natürlich auch der Sinn der Aufgabe. Weisst Du jetzt, wie man hier vorgehen könnte?

Answer 1

Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a < b\).

Sei \(\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Folge in \(\left(a,b\right]\) mit \(\lim\limits_{n\to \infty}b_n = a\).

Zeige, dass \(\left(\mu\left(\left(a,b_n\right]\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge ist.

Comments

Hi, danke erstmal!

Ich habe es jetzt mal folgenderweise verstanden;

Wir betrachten ja den rechtsseitigen Limes, d.h. sei ((a, b_n])_n eine Folge von halboffenen Intervallen in |R, über |R und die Folge (b_n)_n so gewählt, sodass b_n gegen a konvergiert.

D.h. das Intervall ,,schrumpft‘‘ je mehr n wächst. Da die Folge ((a, b_n])_n also monoton fallend ist, denn es gilt für alle n:  (a, b_(n+1)] ⊆ (a, b_n]. Da also die Folge der halboffenen Intervalle monoton fällt, konvergiert sie und ihr Grenzwert ist die unendliche Vereinigung von n = 1 bis inf vob (a, b_n]. Diese ist aber die leere Menge. D.h. lim (a, b_n] = {}.

Dann folgt wegen μ((a, b_n]) = F(b_n)-F(a) dann 0 = μ({}) = lim μ((a, b_n])

= lim (F(b_n)-F(a)) und daraus folgt die rechtseitige Stetigkeit in a.

Ist das richtig?

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für alle n: (a, b_(n+1)] ⊆ (a, b_n]

Das ist nicht gefordert. Nicht alle konvergenten Folgen sind monoton.

ihr Grenzwert ist die unendliche Vereinigung von n = 1 bis inf vob (a, b_n]

Nein, der Grenzwert ist der Durchschnitt \(\bigcap\limits_{n=1}^\infty \left(a,b_n\right] = \emptyset\).

μ({}) = lim μ((a, b_n])

Es ist nicht klar, warum du Grenzwertbildung und Funktionsanwendung vertauschen darfst, warum also

        \(\mu\left(\lim\limits_{n\to\infty}\bigcap\limits_{n=1}^\infty \left(a,b_n\right]\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty \left(a,b_n\right]\right)\)

sein sollte.

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Stimmt b_n sollte so gewählt sein, das er monoton ist, wie z.B. 1/n.

Ich meinte tatsächlich den Schnitt. Wortfehler…

Wie kann man denn diese Gleichheit zeigen?

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Stimmt b_n sollte so gewählt sein, das er monoton ist,

Für die rechtsseitige Stetigkeit von \(f\) bei \(a\) muss zu einem \(b > a\) und jeder gegen \(a\) konvergierenden Folge \(\left(b_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) in \(\left(a,b\right]\) die Folge \(\left(f\left(b_n\right)\right)_{n\in \mathbb{N}}\) gegen \(f(a)\) konvergieren.

Wenn du nur die monotonen \(\left(b_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) in \(\left(a,b\right]\) betrachtest, dann müsstest du begründen warum das hinreichend für rechtsseitige Stetigkeit ist.

Wie kann man denn diese Gleichheit zeigen?

Mittels der Eigenschaften von Prämaßen.

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Ich kann ja von der Existenz einer solchen Folge bzw. Intervall ausgehen in den reelen Zahlen.

Die Eigenschaft eines Prä-Maßes ist ja das  das Maß von der unendliche Vereinigung von abzählbar vielen disjunkten Teilmengen die unendliche Summe aller Maße von jeder Menge einzelnd ist. Was bringt mir das aber jetzt hier, wenn ich den unendlichen Durschnitt betrachte?

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@oswald: Falls du auf die Stetigkeit von oben von \(\mu\) hinausmöchtest, beachte, dass beliebige Prämaße auf beliebigen Mengensystemen i.A. nicht stetig von oben sind.

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Ne μ soll ja stetig von unten sein… Mein Ansatz ist schon richtig, da fehlt nur diese eine Sache. Kannst du mir sagen, wie ich das zeige?

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Die spannende Frage ist, wie du einfachem Wege zeigen kannst, dass \(\mu\) stetig von unten ist. Das erscheint mir deutlich komplizierter als der in meiner Antwort skizzierte gesamte Weg.

Wenn du aber zeigen kannst (z.B. weil du einen passenden aus der Vorlesung bekannten Zusammenhang anwenden kannst), dass \(\mu\) stetig von unten ist, ist der Weg hin zu \(\lim_{n\to\infty}\mu((a,b_n])=0\) auch damit machbar:

Überlege dir $$\mu((a,b_n])=\mu((a,b_1])-\mu((b_n,b_1])$$ für alle \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) und wende die Stetigkeit von unten auf die Folge \((C_n)_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}}\) mit \(C_n:=(b_n,b_1]\) für alle \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) an.

Answer 2

Hallo,

gegeben eine beliebig vorgegebene reelle Zahl \(a\) und eine beliebig vorgegebene Folge \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) mit \(\lim_{n\to\infty}b_n=a\) und \(b_n>a\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist ja \(\lim_{n\to\infty}f(b_n)=f(a)\) zu zeigen. (Soweit war ja glaube ich alles klar.)

Wie schon angeklungen, kann dabei oBdA \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) (streng) monoton fallend angenommen werden. (Die Gültigkeit dieses oBdA ist mit Analysis-1-Mitteln zu beweisen, wenn man selbst das möchte oder der Korrigierende das gerne sehen möchte.)

Um die Prämaß-Eigenschaft von \(\mu\) gewinnbringend einsetzen zu können, brauchen wir eine abzählbare Folge paarweise disjunkter Mengen aus \(S\), deren Vereinigung wieder in \(S\) liegt. Mir fällt hier die Folge der \(B_n:=(b_{n+1},b_n]\) für \(n\in\mathbb{N}\) ein... Kommst du damit schon weiter?

Viele Grüße, Tobias