Die Eigenschaften von Relationen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die folgenden Relationen R1 und zeigen Sie, welche der bekannten Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transivität diese besitzen und ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
a) R1 ={(a,b)∈N×N (a≤2b)∧(2a≥b)}

Problem/Ansatz:

Ich verstehe was die Eigenschaften sind. Ich kann sie auch aktiv nutzen. Jedoch habe ich hierbei Probleme, da es keine Zahlen gibt. Könntet ihr mir bitte weiterhelfen.

Comments

was ist wenn die zahlen mehr als eins auseinander sind?
symmetrie: gibt es ein unterschied für (a,b) und (b,a). (oder ist es für die bedingung mit den ungleichungen egal ob du (a,b) oder (b,a) "eingibst".)
reflexiv: sind beide ungleichungen erfüllt für (a,a)?
transititv : sagen wir es gilt a ~ b und b ~ c, gelten dann auch zwingend beide ungleichungen für (a,c) ? (FALLS nicht dann brauchst du nur ein gegenbeispiel finden)

Answer 1

Du kannst doch für \(a\) und \(b\) beliebige natürliche Zahlen testen. Mach dich also mit der Relation und deren Eigenschaften vertraut.

Das wäre erst einmal ein erster Schritt. Woran scheitert es also?

Gilt zum Beispiel \(3\sim 3\)? Was ist mit \(5\sim 5\)? Dann kann man sich allgemein überlegen, ob \(a\sim a\) gilt für alle natürlichen Zahlen \(a\).

Findest du ein Beispiel für \(a\sim b\)? Kannst du dann prüfen, ob auch \(b\sim a\) gilt?

Es ist immer hilfreich erst einmal mit Beispielen anzufangen. Dann kann man versuchen, es allgemein zu zeigen.

Comments

Ich habe es versucht. Trotzdem habe ich es nicht geschafft. Ich hoffe mir, dass mir jemand die erste Aufgabe zeigt, damit ich die anderen selbstständig bearbeite

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Was hast du versucht? Was bedeutet denn Reflexivität?

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Kurzgesagt: a steht mit sich selbst in Relation.

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Gut, also \(a\sim a\). Was gilt nun laut Relation?

Answer 2

Wenn du die zweite Ungleichung durch 2 teilst und mit der ersten verbindest, erhältst du:

"a steht genau dann in Relation zu b, wenn 0,5b≤a≤2b gilt."

Selbstverständlich gilt auch 0,5a≤a≤2a, womit aRa nachgewiesen ist (Reflexivität).

Kommen wir zur (möglichen) Symmetrie: Folgt aus 0,5b≤a≤2b auch zwangsläufig 0,5a≤b≤2a?

Comments

Interpretiere die Graphik

im Hinblick auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.

Welche Bedeutug hat die magenta Linie ?