Rechendreiecke mit Randzahlen a+b, a+c, b+c und Innenzahlen a,b,c.

Question

hallöchen,

die frage lautet:

Stellen Sie sich vor: Bei einem Rechendreieck sind nur die Außenzahlen gegeben. Wann kann man es komplett ausfüllen? Wann gibt es genau eine, wann mehrere Lösungen?

kann mir einer dabei helfen?

Comments

Wie sehen diese Dreiecke genau aus?

Warum Augensumme? Gehört da noch ein Würfel dazu?

---

hab mich vertan mit der augensumme...

so sieht das aus:

Answer 1

Zähle mal alle Randzahlen zusammen und teile das Resultat durch 2.

So hast du: a + b + c

Nun kannst du von dieser Zahl jeweils eine Randzahl subtrahieren und bekommst die gegenüberliegende innere Zahl.

Comments

Dann würde immer eine Lösung rauskommen, oder?


Beispiel:


Außenzahlen 3,4,5

Summe: = 12

die Hälfte 12/2 = 6

6-3=3

6-4=2

6-5=1

also folgt daraus: Innenzahlen: 1,2,3

---

Ja. Das sollte immer gehen, wenn da schlimmstenfalls auch Brüche rauskommen dürfen.

Ansonsten sollte die Summe der Randzahlen nicht ungerade sein.

---

hier ist ein Rechenviereck:

bei diesem gilt nicht das gleiche wie beim Dreieck, nicht wahr?

---

Wenn das stimmen würde, müsstest du die nächste Frage nicht stellen.

---

a+b+c+d = 60/2 = 30.

Es fällt auf, dass die Summe von einander gegenüberliegenden Randzahlen jeweils 30 ist.

Beginne vielleicht mit verschiedenen denkbaren Innenzahlen, berechne die zugehörigen Randzahlen.

Da kommst du bestimmt selbst zu einer Begründung für wichtige Eigenschaften von solchen Rechenquadraten.

ich teile mal die Randzahlen durch 5. Gibt am Rand:

.   4

1 .....5

... 2

Summe ist 12. Summe der Innenzahlen 6. Geht mit 0+1+2+3

Anordnung der Innenzahlen

13
02

Wieder mit 5 multiplizieren gibt eine Lösung für dein Rechenquadrat
5,15
0,10

Findest du noch weitere Lösungen?

---

ich komme auch nur auf 0,5,10,15. weitere finde ich nicht.

So wie du darauf gekommen bist, würde an diesem Bespiel nicht klappen.

Außensumme: 92

Innensumme: 92/2= 46

Außensumme:

27-21=6

25-19=6

21-19=2

27-25=2

---

ich habe hier ein Beispiel , dass sogar geht, wenn die randzahlen ungerade sind:

die Randzahlen: -3+1/3+6= 10/3 -> 3,33333... also ungerade

und man bekommt trotzdem die Innenzahlen raus:

welche 4/3,-13/3,14/3 sind. also stimmt das nicht, dass die Summe der  randzahlen nicht ungerade sein sollen.

---

die Summe von einander gegenüberliegenden Randzahlen jeweils 30 ist.

Die Summe von einander gegenüberliegenden Randzahlen ist auch im neuen Beispiel gerade. Zwei mal ergibt sich 46.

---

das Beispiel bezieht sich auf die rechendreiecke.

---

Sorry, hab ich nicht gesehen. Man lässt nun offenbar auch Brüche im Dreieck zu. Da kann man diese Einschränkung nicht mehr machen.

---

ok trotzdem danke für deine Hilfe.

hast du vielleicht eine Idee, wie ich darauf komme, wann es eine, mehrere und keine Lösung gibt, wenn nur die Randzahlen gegeben sind?


und beim Rechenviereck bin ich auf unendlich viele Lösungen gekommen, indem ich es so ausgerechnet habe:

X1+ X2= 5

X2+X3=20

X3+X4=25

X1+X4=10

dann habe ich die umgeformt und kam darauf:

1 0 0 1, 10

0 1 0-1, -5

0 0 1 1, 25

0 0 0 0, 0

und kam zu der Lösung: (In Matrix, kann die hier nicht)

10                -1

-5        + s     1

25                 -1

0                     1


man kann für s alle möglichen Zahlen eingeben.

Answer 2

Im Internet habe ich bisher nur gefunden, dass man diese Aufgabe durch systematisches Probieren lösen muss, aber es geht auch anders (und es gibt immer nur eine Lösung):

Es gibt immer mindestens eine gerade äußere Zahl. In diesem Beispiel ist es die 140. Diese Zahl teilt man durch 2 und erhält so 70.

Dann ermittelt man die Differenz der beiden anderen Zahlen (die Differenz ist immer gerade) 137-103 = 34 und teilt diese Zahl ebenfalls durch 2 und erhält so 17.

Jetzt rechnet man 70+17=87 sowie 70-17 = 53; Diese beiden Zahlen werden der 140 zugeordnet, und zwar die größere zur jeweils größeren "Gegenzahl" 87 --> 137 und 53 --> 103

Bleibt noch das Feld unten rechts: Entweder 103-53=50 oder 137-87=50; Es muss auf beiden Wegen aufgehen, und so hat man sein Ergebnis gleich verprobt.

Answer 3

Du hast gegeben
a + b = s1
a + c = s2
b + c = s3

I - II

b - c = s1 - s2
b + c = s3

I + II

2b = s1 + s3 - s2
b = (s1 - s2 + s3) / 2

b + c = s3
(s1 + s3 - s2) / 2 + c = s3
c = (- s1 + s2 + s3) / 2

a + b = s1
a + (s1 + s3 - s2) / 2 = s1
a = (s1 + s2 - s3) / 2

Damit gibt es doch eigentlich immer eine definierte Lösung und nie eine Mehrdeutigkeit oder bin ich da auf dem Holzweg?