Wie lang ist EA in Abhängigkeit von AB?

Question

In einem Fünfeck ABCDE sind die Winkel mit den Scheiteln B und D je 120° groß und die Größe des Winkels mit dem Scheitel C ist 150°. Außerdem gilt |\( \overline{AB} \) |=| \( \overline{BC} \) |=|\( \overline{CD} \) |=|\( \overline{DE} \) |. Wie lang ist |\( \overline{EA} \) | in Abhängigkeit von |\( \overline{AB} \) |?

Comments

\(\sqrt{6}\) ... und ein 'schöner' Beweis folgt heute noch, falls ihn sonst niemand liefert ;-)

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Werner, inzwischen sind zwei richtige Antworten eingegangen, die aber beide nicht besonders elegant sind. Wie sieht dein 'schöner' Beweis aus?

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ich habe auch keine andere Lösung als die von abakus. Mein erster Ansatz war es, die beiden Strecken \(ED\) und \(DC\) auf die Gerade durch \(EA\) zu projizieren. So ist $$\frac{1}{2}|EA| = |AB|\left(\cos\left(75°\right)+\cos\left(15°\right)\right)$$die beiden Cosinuswerte sind algebraische Zahlen und können hier nachgelesen werden.

das ist natürliche keine "schöne" Lösung. Wer kennt schon diese Wurzelausdrücke?

Dann hatte ich diese Idee: Das Viereck \(EMCD\) ist symmetrisch zur Achse \(DM\). Die blau eingezeichneten Winkel sind \(60°\). Daraus folgt \(|ES| = |DE|=|AB|\).

Und die Strecke \(|EM|=|EA|/2 \) lässt sich dann nach dem Sinussatz berechnen:$$\frac{|EM|}{\sin\left({\color{green}120°}\right)} = \frac{|ES|}{\sin\left({\color{red}45°}\right)} \implies |EM| = |AB|\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\frac{|AB|}{2}\sqrt{6}$$das geht natürlich auch ohne Sinussatz, was dann "schöner" ist. Man bringt die Gerade durch \(EC\) ein, die gleichzeitig die Höhe im gleichseitigen Dreieck \(\triangle ESD\) (s.o.) beinhaltet.

Wegen \(\angle EDM=60°\) ist \(|DT| = |DE|/2\) und \(|ET|\) die Höhe im gleichseitigen Dreieck und somit $$|ET| = \frac{1}{2}\sqrt{3}\, |DE|=  \frac{1}{2}\sqrt{3}\, |AB|$$und weil \(\angle DME={\color{red}45°}\) ist das Dreieck \(\triangle EMT\) ein gleichschenkliges und rechtwinkliges - bzw. ein halbes Quadrat. Also $$|EM| = \sqrt{2} \, |ET| = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\, |AB| = \frac{1}{2}\sqrt{6}\,|AB|$$schaut man genau hin, ist dies fast die Lösung von abakus.

Gruß Werner

Answer 1

b^2 = a^2 + a^2 - 2·a^2·COS(120°) --> b = √3·a

α = (180° - 120°)/2 = 30°
β = 150° - 2·30° = 90°

c^2 = b^2 + b^2 --> c = √2·b

Damit folgt dann:

c = √2·b = √2·(√3·a) = √6·a

Noch eine Skizze

Comments

b lässt sich auch trivialer berechnen, wenn man den Kosinussatz noch nicht hatte.

COS(30°) = (b/2)/a --> b = √3·a

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An Mathecoach und abacus. Es geht eleganter, wenn man die Höhe im gleichseitigen Dreieck und die Länge der Diagonalen im Quadrat kennt.

Dann ist b 2 mal die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

b = 2·(√3/2·a) = √3·a

Und c die Diagonale des Quadrates.

c = √2·b = √2·√3·a = √6·a

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Warum nicht gleich so? Es geht doch!

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Warum nicht gleich so? Es geht doch!

Weil es mir (und auch nicht dieser Seite) darum geht, Rechnungen für Schüler nachvollziebar zu machen und nicht nur irgendwelche Formeln, die kaum ein Schüler auswendig weiß, anzuwenden.

Mach mal eine Umfrage auf der Straße und frag nach der Formel für die Diagonale eines Quadrates und der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks.

Was denkst du wie viel Promille dies auf Anhieb wissen?

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Mach mal eine Umfrage auf der Straße und frag nach dem Kosinussatz. Was denkst du, wie viel Promille dies auf Anhieb wissen?

Answer 2

Die Figur ist symmetrisch bezüglich des Lotes von C auf EA. Der 150°-Winkel wird vom Lot halbiert, und die 75° bestehen aus einem Teilwinkel 30° und einem Restwinkel von 45°. Das Dreieck MAC ist somit rechtwinklig und gleichschenklig.

Im Dreieck CAB gilt |CA|= \( \sqrt{3} \cdot |AB|\) und im Dreieck MAC gilt |MA|=\(\frac{|CA|}{ \sqrt{2} } \).

Da |MA| die Hälfte von |EA| ist, gilt

|EA|=\(2\cdot\frac{\sqrt{3} \cdot |AB|}{ \sqrt{2} } =\sqrt{6} \cdot |AB|\).

Comments

An Mathecoach und abacus. Es geht eleganter, wenn man die Höhe im gleichseitigen Dreieck und die Länge der Diagonalen im Quadrat kennt.

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Es geht eleganter, wenn man die Höhe im gleichseitigen Dreieck und die Länge der Diagonalen im Quadrat kennt.

Was glaubst du denn, wie ich zu

|CA|= \( \sqrt{3} \cdot |AB|\) und |MA|=\(\frac{|CA|}{ \sqrt{2} } \) gekommen bin?

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abacus, zwei deiner Hilfslinien (braun und lila) sind überflüssig. Zwei andere, sinnvolle (Höhe auf AC im Dreieck ABC und Höhe auf EC im Dreieck ECD) fehlen.