Ich hatte geschaut, ob man das irgendwie geometrisch sehen kann.
Kann man! Ist auch irgendwie nicht schwer, wenn man erst mal drauf gekommen ist.
Fällt man vom Inkreismittelpunkt I die Lote auf die drei Seiten des Dreiecks △ACD so wird das Dreieck in drei rechtohrige Drachenvierecke unterteilt. Der Drache im rechten Winkel - bei D - mutiert sogar zum Quadrat. Und die Drachen kann man ganz wunderbar entlang ihrer Symmetrieaches zweiteilen. Nur das Quadrat FIED halbiere ich längs einer Seite des Ausgangsrechteck, wie hier gezeigt:
Ich denke, es ist ohne weitere Erklärung klar, dass die Summe der drei hellblauen Flächen genau die Hälfte der Fläche des Dreiecks △ACD ausmacht.
Jetzt wandele ich die beiden Dreiecke in Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt um, indem ich die Höhe r halbiere und die Grundseite FA bzw. CE belasse. r ist der Radius des Inkreises und gleichzeitig die Kantenlänge des Quadrats FIED.

Gleichzeitig schiebe ich das obere Rechteck um r/2 nach links.
Spiegelt man die blauen Flächen am Mittelpunkt M des Rechtecks, so schließt sich das Gebilde zu einer umlaufender Fläche mit konstanter Breite r/2 und der halben Fläche des Ausgangsrechteck.