Einfache Bauernregel (Feldaufteilung)

Question

Hier sind ja einige Lehrer. Vielleicht interessiert sie diese schöne Aufgabe:

Zwei Bauern wollen ein rechteckiges Feld halbe-halbe aufteilen. Allerdings nicht durch einen einfachen geraden Schnitt mittendurch, sondern einer soll außenrum einen Randstreifen konstanter Breite bekommen und der andere das Stück in der Mitte.
"Wie bestimmen wir denn die Breite des Streifens?", frage der eine Bauer.
Zum Glück kannte der andere dazu eine einfache Regel.

Answer 1

Die Breite des Streifens beträgt 1/4 der Länge des Feldes plus 1/4 der Breite des Feldes minus 1/4 der Diagonale des Feldes.

Comments

Garantiert nicht. Überschlag das mal.

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Ok, Jetzt stimmt es. :-)

Herleitung fehlt noch.

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Zuerst willst Du einen Garantieschein ausstellen, dann soll ich mich überschlagen, und dann muss ich auch noch herleiten, ts ts ... Aber bitte:

Aus der Aufgabe

\(\displaystyle (\ell-2x)(b-2x) =\frac{1}{2}\ell b \)

folgt die quadratische Gleichung

\(\displaystyle 2 x^{2}-(\ell+b) x+\frac{1}{4} \ell b=0 \)

mit der Lösung (Mitternachtsformel)

\(\displaystyle x=\frac{\ell+b-\sqrt{(\ell+b)^{2}-2\ell b}}{4}=\frac{\ell+b-\overbrace{\sqrt{\ell^{2}+b^{2}}}^{\text{Diagonale}}}{4} \)

Answer 2

Teile das rechteckige Grundstück durch eine Diagonale - z.B. \(AC\). Konstruiere mit zwei Winkelhalbierenden - hier durch \(D\) und \(A\) - den Mittelpunkt \(I\) des Inkreises des Dreiecks \(\triangle ACD\). Der Mittelpunkt \(S\)  der Strecke \(ID\) ist ein Eckpunkt des mittleren gesuchten Grundstücks.

Konstruiere die drei weiteren Eckpunkte \(P\), \(Q\) und \(R\) durch Spiegelung an den Symmetrieachsen (schwarz gestrichelt) oder durch eine Wiederholung obiger Konstruktion oder eine Kombination aus beiden.

Und döschwos Lösung ist korrekt und stimmt mit dieser überein ;-)

Comments

Wow, da wird der Landwirt doch glatt zum Ingenieur-Agronomen :)

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Also ich bewundere das ja immer, wie man auf solche Lösungen kommt.

Ich wäre auch auf die Lösung von döschwo gekommen, dass ist ja recht trivial, aber nie im Leben auf solche Konstruktion. Wie kommt man darauf?

Könnte man anhand der Skizze irgendwie begründen, dass diese Punkte genau ein Rechteck mit halbem Flächeninhalt bilden wie das ursprüngliche Rechteck?

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Wie kommt man darauf?

Du bist selbst schuld ;-) Es war Deine Antwort auf Rolands vorletzte Frage, die mich drauf gebracht hat. Schau dort auf die Formel des Inkreisradius \(r\) und dann auf die Formel für \(x\) in döschwos Kommentar (s.o.). Das war schon alles!

Könnte man anhand der Skizze irgendwie begründen, dass diese Punkte genau ein Rechteck mit halbem Flächeninhalt bilden wie das ursprüngliche Rechteck?

da habe ich schon eine Idee, ist aber noch nicht spruchreif.