Einfache Bauernregel (Feldaufteilung)

Question

Hier sind ja einige Lehrer. Vielleicht interessiert sie diese schöne Aufgabe:

Zwei Bauern wollen ein rechteckiges Feld halbe-halbe aufteilen. Allerdings nicht durch einen einfachen geraden Schnitt mittendurch, sondern einer soll außenrum einen Randstreifen konstanter Breite bekommen und der andere das Stück in der Mitte.
"Wie bestimmen wir denn die Breite des Streifens?", frage der eine Bauer.
Zum Glück kannte der andere dazu eine einfache Regel.

Answer 1

Teile das rechteckige Grundstück durch eine Diagonale - z.B. \(AC\). Konstruiere mit zwei Winkelhalbierenden - hier durch \(D\) und \(A\) - den Mittelpunkt \(I\) des Inkreises des Dreiecks \(\triangle ACD\). Der Mittelpunkt \(S\)  der Strecke \(ID\) ist ein Eckpunkt des mittleren gesuchten Grundstücks.

Konstruiere die drei weiteren Eckpunkte \(P\), \(Q\) und \(R\) durch Spiegelung an den Symmetrieachsen (schwarz gestrichelt) oder durch eine Wiederholung obiger Konstruktion oder eine Kombination aus beiden.

Und döschwos Lösung ist korrekt und stimmt mit dieser überein ;-)

Comments

Wow, da wird der Landwirt doch glatt zum Ingenieur-Agronomen :)

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Also ich bewundere das ja immer, wie man auf solche Lösungen kommt.

Ich wäre auch auf die Lösung von döschwo gekommen, dass ist ja recht trivial, aber nie im Leben auf solche Konstruktion. Wie kommt man darauf?

Könnte man anhand der Skizze irgendwie begründen, dass diese Punkte genau ein Rechteck mit halbem Flächeninhalt bilden wie das ursprüngliche Rechteck?

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Wie kommt man darauf?

Du bist selbst schuld ;-) Es war Deine Antwort auf Rolands vorletzte Frage, die mich drauf gebracht hat. Schau dort auf die Formel des Inkreisradius \(r\) und dann auf die Formel für \(x\) in döschwos Kommentar (s.o.). Das war schon alles!

Könnte man anhand der Skizze irgendwie begründen, dass diese Punkte genau ein Rechteck mit halbem Flächeninhalt bilden wie das ursprüngliche Rechteck?

da habe ich schon eine Idee, ist aber noch nicht spruchreif.

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Meine Konstruktion des Punktes I war

m ist Mittelsenkrechte von FG, Rest wie bei dir.

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Da müssen die beiden Bauern aber froh sein, wenn das Grundstück nicht wie ein Quadrat aussieht

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Deshalb "war"

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Wow, sehr cool, diese geometrischen Lösungen!

Die Aufgabe ist übrigens aus Bd. 2 von:

Sam Loyd/Martin Gardner

"Noch mehr mathematische Rätsel und Spiele",

Aufgabe 90

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Das war schon alles!

Vielen lieben Dank Werner-Salomon für die Erklärung. An die Formel für den Innkreis hatte ich gar nicht mehr gedacht.

Ich hatte geschaut, ob man das irgendwie geometrisch sehen kann.

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Soviel zum Thema "einfache Bauernregel" ;-)

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Ich hatte geschaut, ob man das irgendwie geometrisch sehen kann.

Kann man! Ist auch irgendwie nicht schwer, wenn man erst mal drauf gekommen ist.

Fällt man vom Inkreismittelpunkt \(I\) die Lote auf die drei Seiten des Dreiecks \(\triangle ACD\) so wird das Dreieck in drei rechtohrige Drachenvierecke unterteilt. Der Drache im rechten Winkel - bei \(D\) - mutiert sogar zum Quadrat. Und die Drachen kann man ganz wunderbar entlang ihrer Symmetrieaches zweiteilen. Nur das Quadrat \(FIED\) halbiere ich längs einer Seite des Ausgangsrechteck, wie hier gezeigt:

Ich denke, es ist ohne weitere Erklärung klar, dass die Summe der drei hellblauen Flächen genau die Hälfte der Fläche des Dreiecks \(\triangle ACD\) ausmacht.

Jetzt wandele ich die beiden Dreiecke in Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt um, indem ich die Höhe \(r\) halbiere und die Grundseite \(FA\) bzw. \(CE\) belasse. \(r\) ist der Radius des Inkreises und gleichzeitig die Kantenlänge des Quadrats \(FIED\).

Gleichzeitig schiebe ich das obere Rechteck um \(r/2\) nach links.

Spiegelt man die blauen Flächen am Mittelpunkt \(M\) des Rechtecks, so schließt sich das Gebilde zu einer umlaufender Fläche mit konstanter Breite \(r/2\) und der halben Fläche des Ausgangsrechteck.

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Wie der Coach schon schrieb: "Also ich bewundere das ja immer, wie man auf solche Lösungen kommt."

Answer 2

Die Breite des Streifens beträgt 1/4 der Länge des Feldes plus 1/4 der Breite des Feldes minus 1/4 der Diagonale des Feldes.

Comments

Garantiert nicht. Überschlag das mal.

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Ok, Jetzt stimmt es. :-)

Herleitung fehlt noch.

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Zuerst willst Du einen Garantieschein ausstellen, dann soll ich mich überschlagen, und jetzt muss ich auch noch herleiten, ts ts ... Aber bitte:

Aus der Aufgabe

\(\displaystyle (\ell-2x)(b-2x) =\frac{1}{2}\ell b \)

folgt die quadratische Gleichung

\(\displaystyle 2 x^{2}-(\ell+b) x+\frac{1}{4} \ell b=0 \)

mit der Lösung (Mitternachtsformel)

\(\displaystyle x=\frac{\ell+b-\sqrt{(\ell+b)^{2}-2\ell b}}{4}=\frac{\ell+b-\overbrace{\sqrt{\ell^{2}+b^{2}}}^{\text{Diagonale}}}{4} \)