Aber wie leite ich das formal richtig her?

Question

Habe hier im Forum so auf Anhieb nichts Passendes gefunden. Es geht um eine ganz einfache Ungleichung.$$x^{2}+2x\gt 3$$1. Quadratische Ergänzung und Radizieren
$$(x+1)^{2}\gt 4\\ |x+1|\gt 2$$Die Lösungen sind natürlich 1 und –3. Aber wie leite ich das formal richtig her? Denn erstmal habe ich doch nur:
\(x\gt 1\) und \(x\gt–3\). Allerdings muß \(x\lt –3\). Aber warum? Nach welcher Regel oder mit welcher Begründung drehe ich das Ungleichheitszeichen um?
2. Arbeite ich mit \((x+1)^{2}–2^{2}\gt 0\), habe ich \([(x + 1) + 2][(x + 1) – 2]\). Das führt gewiß auf die dieselben Ergebnisse, aber auch dann frage ich mich, wie ich korrekt herleite, daß \(x\) einmal \(\gt\), einmal \(\lt\) bezüglich welchen Wertes ist.
Danke.
PS.: Komme hier mit dem Forum nicht richtig klar. Warum kann man einen Text nicht einfach einfügen? Habe jetzt alles in Dollarzeichen gesetzt. Aber das ist wohl auch falsch. Habs wieder geändert.

Comments

Benutze das hier:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Damit ist etwa $$x^2+2x\gt 3$$möglich.

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Habe ich gemacht. Scheint ja jetzt auch ok zu sein. Allerdings ohne irgendein Dollarzeichen.

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Die Dollarzeichen müssen im Eingabeformular gesetzt werden.

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Warum kann man einen Text nicht einfach einfügen? Habe jetzt alles in Dollarzeichen gesetzt. Aber das ist wohl auch falsch.

ich habe Deine Frage formatiert. Gehe auf 'Bearbeiten' und schaue Dir an, was ich gemacht habe.

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Man kann in jeder formatierten Frage/Antwort durch anclicken/copy/paste sehen, wie es gesetzt wird. Mit Dollarzeichen geht hier (leider) gar nichts.

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Alternativ folgt aus \((x+1)^2-2^2>0\) mit der dritten binomischen Formel \((x-1)(x+3)>0\).
Also müssen \(x-1\) und \(x+3\) gleiches Vorzeichen haben.

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Mit Dollarzeichen geht hier (leider) gar nichts.

Es müssen hier doppelte Dollarzeichen sein.

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Doppelte Dollarzeichen erzeugen ein anderes Layout als einfache.

Answer 1

\(x^{2}+2x> 3\) →  \(x^{2}+2x-3> 0\)

Einschub:

\(x^{2}+2x-3\red{=}0\)  quadratische Ergänzung:

\(x^{2}+2x+(\frac{2}{2})^2-3=0 +(\frac{2}{2})^2\)   1.Binom:

\((x+\frac{2}{2})^2-3=1\)

\((x+1)^2=4|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+1=2\)

\(x_1=1\)

2.)

\(x+1=-2\)

\(x_2=-3\)

Nun zu

\((x+1)^2>4|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+1>2\)

\(x>1\)

Probe mit \(x=3\):

\(3^{2}+2\cdot 3> 3\)→\(9+6 > 3\)✓

2.)

\(x+1<-2\)

\(x<-3\)

Probe mit \(x=-4\):

\((-4)^{2}+2\cdot(-4)> 3\)  →\(16-8> 3\)✓

Answer 2

Die Lösungen sind natürlich 1 und –3.

Das ist natürlich falsch. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Der einfachste Lösungsweg ist an der Zahlengeraden: Beachte: \(|a-b|\) ist der Abstand der Zahlen \(a\) und \(b\) auf der Zahlengeraden.

Comments

Was heißt hier falsch? Natürlich gibt es unzählige Lösungen, aber so, daß – 3 > x >1.

Schließlich ist das eine Ungleichung.

Wie ich das herleite und nicht einfach logisch schließe, darum geht es.

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Der zitierte Satz ist jedenfalls falsch.

Wie man das herleitet, s.o.

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Richtig wäre z.B. "Lösungen sind -1 und 3"

Ach?

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Achja, stimmt, ist ja nicht \(\ge\).

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Das meinte ich nicht und ich verstehe es auch nicht.

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Was genau verstehst Du nicht? Den Unterschied zwischen "Lösungen sind..." und "Die Lösungen sind...".

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Das verstehe ich nicht. Tut mir leid. Warum sollte das Zeichen jetzt anders zu setzen sein. 1 – 1 ist 0 und nicht > 3. 3 wiederum ist ein ganz beliebiger Wert.

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Was verstehst Du nicht? Welches Zeichen? Wie "anders zu setzen"?

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Natürlich das Minuszeichen! Das ist mir wirklich schleierhaft.

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@nudger:

Richtig wäre z.B. "Lösungen sind -1 und 3"

Aber \(-1\) ist doch gar keine Lösung.

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@Gast az0815: Ich hab es doch gelöscht, auf Deinen Hinweis hin. Bei \(\ge\) wäre -1 eine Lösung, und der Satz "Lösungen sind -1 und 3" wäre korrekt.

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@nudger: Das habe ich nicht mitbekommen und nun habe ich den Überblick verloren! :-)

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@Eukleidis Ich weiß nicht, was Du meinst, daher hatte ich drei Fragen gestellt:

Was verstehst Du nicht? Welches Zeichen? Wie "anders zu setzen"?

Die zweite hast Du beantwortet.

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$Anderes Beispiel:
25x^{2}~+~16~>~50x
25x^{2}~–~50x~>~–16
Das kann ich auch lösen, indem ich mit a = 25 multipliziere und die Formel, allg. gesagt, x~=~\frac{b}{2}~+/–~\sqrt{\frac{b}{2})^{2}~–~ac}~•~\frac{1}{a} verwende.
(25x~–~25)^{2}~>~625~–~400
25x~–~25~>~15
x~>~\frac{40}{25}~=~\frac{8}{5}$


25x~–~25~>~–~15
25x~>~10
x~>~\frac{10}{25}~=~\frac{2}{5}
Auch hier muß ich das Ungleichheitszeichen umdrehen, ohne daß ich weiß, wie ich das systematisch begründe.

@nudger Wenn Du antwortest, bleibe bitte bei meiner Frage. Und Deine letzten Nachfragen habe ich beantwortet.$

@alle Tut mir leid Leute. Ich hoffe, es ist verständlich. Verstehe nicht, warum er das nicht richtig anzeigt.

Text erkannt:

Anderes Beispiel:
\( \begin{array}{l} 25 x^{2}+16>50 x \\ 25 x^{2}-50 x>-16 \end{array} \)

Das kann ich auch lösen, indem ich mit a = 25 multipliziere und die Formel, allg. gesagt,
\( \begin{aligned} x=\frac{b}{2}+/ & -\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a c} \cdot \frac{1}{a} \text { verwende. } \\ (25 x-25)^{2} & >625-400 \\ 25 x-25 & >15 \\ x & >\frac{40}{25}=\frac{8}{5} \\ 25 x-25 & >-15 \\ 25 x & >10 \\ x & >\frac{10}{25}=\frac{2}{5} \end{aligned} \)

Aber \( x \operatorname{muß}<\frac{2}{5} \). Nur wie begründe und leite ich die Ungleichheitszeichenänderung her.

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@Eukleidis
\(|a|>c \Leftrightarrow a>c\) oder \(-a > c\).

Du hast das Minuszeichen auf der falschen Seite der Ungleichung gewechselt.

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Könntest Du das mal anhand meines Beispiels verdeutlichen? Meinst Du sowas wie

Text erkannt:

\( \begin{aligned} 25 x-25 & >-15 \mathrm{I} \cdot-1 \\ -25 x+25 & <15 \\ -25 x & <15-25 \\ -25 x & <-10 \\ x & <\frac{2}{5} \end{aligned} \)

Die obige Gleichung stammt übrigens nicht von mir und ich frage mich ohnehin, wie ich die 2. Version mit der Subtraktion herleite. Denn für dies 1. ist es realativy einfach:
\( 25 x-25+25>15+25 \)

Aber ist das bei der zweiten?

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@Eukleides

\(\begin{array}{rcl}(25x-25)^2 & > & 625-400 \\ & \Leftrightarrow & \\|25x-25| & > & 15 \\ & \Leftrightarrow & \end{array}\)

\(25x-25 > 15\) oder \(-(25x-25) > 15\)

Wenn du eine andere allgemeinere Herleitung willst:
Sei \(c>0\)
\(x^2 > c^2 \Leftrightarrow x^2-c^2=(x-c)(x+c)> 0\)

Der Graph von \(f(x) = x^2-c^2\) ist eine nach oben offene Parabel mit Nullstellen bei \(x=c\) und \(x=-c\). Der Graph verläuft also oberhalb der x-Achse für \(x>c\) bzw. \(x<-c \Leftrightarrow -x > c\).

Answer 3

|x + 1| > 2

Forme dies um in zwei Ungleichungen

x + 1 < -2 --> x < -3

oder

x + 1 > 2 --> x > 1

Comments

eher in zwei Ungleichungen...

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eher in zwei Ungleichungen...

Danke. Ist korrigiert.

Answer 4

x^2+2x-3 >0

pq-Formel:

x1/2 = -1+-√(1+3) = -1+-2

x1= 1

x2 =-3

(x-1)(x+3) >0

1.Fall:

x-1> 0 u. x+3>0

x> 1 u. x> -3 -> x> 1

2. Fall:

x<1 u. x< -3 -> x<-3

L= (-oo;-3) ∪ (1;oo) = R\[-3;1] = {x∈ℝ| x<-3 v x>1}

Answer 5

Aber warum? Nach welcher Regel oder mit welcher Begründung drehe ich das Ungleichheitszeichen um?

Beachte allgemein folgende Regeln:

Es gilt \( \sqrt{x^2}=|x| \).

Weiterhin gilt für \( |x| \leq c \), dass

1. Wenn \( x \geq 0 \), dann \( x \leq c \).

2. Wenn \( x \leq 0 \), dann \( -x \leq c \) und damit \( x \geq -c \).

3. Die Multiplikation oder Division mit negativen Zahlen dreht das Zeichen um.

Damit solltest du die Lösungen selbst herleiten können. Rechne es einfach nochmal nach.