Real und Imaginärteil herausfinden

Question

Könnte mir jemand meine Aufgabe mit anderen Zahlen als Beispiel erklären bitte, ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). a) Es sei \( z_{1}=3+4 j \) und \( z_{2}=-2+3 j \). Berechnen Sie \( \left|z_{1}\right| \) und \( \left|z_{2}\right| \), sowie Real- und Imaginärteil von \( z_{1}-z_{2}, z_{1} \overline{z_{2}} \) und \( \frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}} \).
b) Berechnen Sie die Polarform von \( z_{1}=-\sqrt{3}+j \) und \( z_{2}=\sqrt{3}-3 j \) und damit dann \( \frac{z_{1}^{2}}{z_{2}} \) sowie \( z_{1}^{2} z_{2}^{2} \) in Polarform.
c) Berechnen Sie die komplexen Lösungen in Polarform von \( z^{5}=\sqrt{7}-\sqrt{21} j \).

Comments

Oder eventuell ein Video dazu schicken, wo dies erklärt wird

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Wenn es nur um Aufgabe a) geht:

Weißt du, wie man komplexe Zahlen addiert, multipliziert oder dividiert?

Wenn nicht, kann ich dir Tipps geben.

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Nein, ich war nicht in der Vorlesung, weil ich erst seit Freitag immatrikuliert bin, bin voll lost :,(

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Meine Tipps: (a+b·i)+(c+d·i)=(a+c)+(b+d)·i

(a+b·i)·(c+d·i)=a·c - b·d + (a·d + b·c)·i

Bei Division mit konjugiertem Nenner erweitern.

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Ist mein Ansatz richtig:

Text erkannt:

Blatt_3_872445f91574b810fced9a50...
Blatt03
13.11 .24
Blatt04
Ubungblatt 3

Bonusaufgabe a) \( z_{1}=3+4 j \quad z_{2}=-2+3 j \),
\( z_{21} \mid \) und \( \left|z_{2}\right| \)
Real-und Imaginirteil von \( z_{1}-z_{2}, z_{1}, \bar{z}_{2}, \frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}} \)
\( \begin{array}{l} \text { a..) } \begin{array}{l} z_{1}=3+4 i \quad \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)=3 \quad \operatorname{Im}\left(z_{1}\right)=4 \\ z_{2}=-2+3 j \end{array} \\ \left|z_{1}\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}} \\ \text { 1.) } \begin{aligned} \mid z_{1}-z_{2} & =(3-(-2))+(4-3) j \quad j^{2}= \\ & =5+(2) j \end{aligned} \end{array} \)

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Das stimmt soweit, aber rechne \(|z_1|\) aus und außerdem komme ich bei \(4-3\) nicht auf 2.

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Omg ja stimmt, und wie rechne ich z1 aus? Meinst du das so:

Text erkannt:

Bonusaufgabe a.) \( z_{1}=3+4 j \quad z_{2}=-2+3 j \),
\( \left|z_{1}\right| \) und \( \left|z_{2}\right| \)
Real-und Imaginärteil von \( z_{1}-z_{2}, z_{1} \bar{z}_{2}, \frac{\overline{z_{1}}}{1 z_{2}} \)
\( \begin{array}{l} \text { a1.) } z_{1}=3+4 j \quad \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)=3 \quad \operatorname{Im}\left(z_{1}\right)=4 \\ z_{2}=-2+3 j \\ \left|z_{1}\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{15} \end{array} \)
1.) \( z_{1}-z_{2}=(3-(-2))+(4-3) j \)
\( =5+(1) j \)

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Und woher weiß ich was j^2 ist

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@Moliets nichts verstanden?

@melisad8 ja, aber rechne 3^2+4^2 mal richtig. \(j^2=-1\), falls das auftaucht. Ist aber erst bei \(z_1\bar z_2\) nötig. \(\sqrt{-1}\) taucht bei seriöser Rechnung nie auf, und das ist auch sinnvoll.

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@Moliets nichts verstanden?

Dann hat Wolfram das auch nicht verstanden.

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Das beweist nichts. Es ist Dir zig mal erklärt worden. Trotzdem stiftest Du erneut Verwirrung bei Anfängern. Ich schließe mich dem Rat von abakus an: beschränke Deine "Expertise" auf alte Fragen, deren Antwort eh keiner mehr liest.

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ich bin jetzt hier, weiter weiß ich nicht

Text erkannt:

Bonusaufgabe a.) \( z_{1}=3+4 j \quad z_{2}=-2+3 j_{1} \)
\( \left|z_{1}\right| \) und \( \left|z_{2}\right| \)
Real-und |maginärteil von \( z_{1}-z_{2}, z_{1} \bar{z}_{2}, \frac{\overline{z_{1}}}{1 z_{2}} \)
\( \begin{array}{l} \text { a.) } z_{1}=3+4 j \quad \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)=3 \quad \operatorname{Im}\left(z_{1}\right)=4 \\ z_{2}=-2+3 j \\ \left|z_{1}\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 \\ \left|z_{2}\right|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{3}}=\sqrt{13} \end{array} \)
1.)
\( \begin{array}{l} \left(x_{1}-x_{2}\right)+\left(y_{1}-y_{2}\right) j \\ z_{1}-z_{2}=(3-(-2))+(4-3) j \\ =5+(1)_{j} \end{array} \)
2.) \( \left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)+\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)_{j}^{j} \)
\( \bar{\Sigma} \) ist die Konjugieng (Voreichen des Imaginärterils ändert sich):
\( \begin{aligned} \bar{z}_{1} & =3-4 j \\ \bar{z}_{2} & =-2-3 j \\ z_{1} \cdot \overline{z_{2}} & =((3 \cdot(-2)-(4 \cdot 3))+((3 \cdot 3)-(4 \cdot(-2))) j \\ & \Leftrightarrow(-6-12)+(9+8) j \\ & \Leftrightarrow-18+17 j \end{aligned} \)
3.) \( \frac{z_{1}}{z_{2}}:=\frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}} \cdot \frac{\bar{z}}{z_{2}} \) es wind mit der Korjugtion von \( z \) multipliziert
\( \begin{aligned} \frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}}=\frac{(3-4 j)}{(-2+3 j)} \cdot \frac{(-2-3 j)}{(-2-3 j)} & \Leftrightarrow(3-4 j) \cdot(-2-3 j) \\ & \Leftrightarrow-6-9 j+8 j+12 j^{2} \\ & \Leftrightarrow-6-1 j+12 j^{2} \\ & \Leftrightarrow \end{aligned} \)

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\(-6-1j+12j^2=-6-1j-12=-18-j\)

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Von der Idee her gut.

Beträge und 1) stimmt.

Zu 2.)

Zwischen umgeformte Terme gehört \(=\), nicht \(\iff\).

\(z_1\bar z_2 = -18 + (-9+8)j\).

Zu 3): Ansatz richtig, rechne weiter (fasse jeweils in Zähler und Nenner zusammen), beachte \(=\) anstelle \(\iff\). Ziel ist es, dass der Nenner reell wird, das sollte so auch rauskommen.

Die Aufgaben mit der Polarform sind (für den Anfänger) etwas anspruchsvoller. Siehe dazu auch die Videos unten.

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Was ist der Unterschied zwischen in Polarform zu berechnen und komplexe Zahl in Polarform zu berechnen?

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In b) sollst Du die beiden Zahlen jeweils in Polarform umwandeln (das ist mit "berechnen in" gemeint) und mit dem Ergebnis (den beiden Polarformen) die beiden Brüche ausrechnen (damit Du lernst, dass Brüche mit Polarform einfacher sind als mit kart. Form).

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \frac{(3-4 j)}{(-2+3 j)} \cdot \frac{(-2-3 j)}{(-2-3 j)} \\ = & \frac{-6-9 j+8 j+12 j^{2}}{4+6 j-6 j-9 j^{2}} \\ = & \frac{-6-1 j+12 j^{2}}{12-9 j^{2}} \\ = & \frac{-3-1 j+4 j^{2}}{2-3 j^{2}}\end{aligned} \)

wie kann ich das weiter machen? woher weiß ich was j^2 ist?

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Du hast schonmal nach \(j^2\) gefragt und ich hab Dir geantwortet \(j^2=-1\). Rechne damit fertig. Und kürze richtig (wenn überhaupt).

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Ist das immer -1?

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j² ist als -1 definiert.

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ist das so richtig?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\Leftrightarrow(-2+3 j) \cdot(-2-3 j) \\ \Rightarrow 4+6 j-6 j-9 j^{2} \\ \Rightarrow 4-9 j \\ \Rightarrow 4-9 \cdot(-1) \\ \Rightarrow 13\end{array} \)

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Bis auf die Pfeile (auch oben erklärt) richtig. Und es ist nur der Nenner.

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stimmt ja danke, zu b.) hab ich jetzt das aber weiter weiß ich nicht, weil wir ohne taschenrechner es berechnen müssen

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { b.) } z_{1}=\sqrt{3}+j, z_{2}=\sqrt{3}-3 j, \frac{z_{1}^{2}}{z z}, z_{1}^{2} \cdot z_{2}^{2} \\ z=a+b \cdot i \rightarrow z=r \cdot e^{i y} \\ z_{1}: R_{e}=\sqrt{3} \text { Im=1 } \\ z_{2}: R_{e}=\sqrt{3} \quad \mid m=-3 \\ r=\left|z_{1}\right|=\sqrt{R_{e}^{2}+\mid m^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2 \\ \left|z_{2}\right|=" \quad "=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12} \approx 3,5 \\ \varphi=\tan ^{-1}\left(\frac{1 m}{R e}\right) \\ z_{1}=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \end{array} \)

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Es ist gut, dass Du eine Skizze gemacht hast. In diesem(!) Fall (nicht generell) ist \(\varphi =\arctan \frac1{\sqrt3}=\frac\pi6\) (entspricht einem Winkel von \(30^\circ\)). Wie lautet dann \(z_1\) in Polarform? \(z_1\neq \varphi\).

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Wie kann ich das ohne Skizze tun? Gibt es da eine Formel?

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Mit dem Spruch nerve ich meine Schüler täglich:

"Skizzen schaden nur dem, der keine macht."

Die Frage

Wie kann ich das ohne Skizze tun? Gibt es da eine Formel?

klingt genau nach

"Gebt mir einfach eine Formel, damit ich die blind anwenden kann (und nichts verstehen muss)".

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Ich komme echt nicht weiter :(, durch die Videos verstehe ich auch nicht wirklich mehr

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Die Skizze dient zur Erkennung, ob man einfach \(\arctan\) benutzen kann (um den Winkel zu berechnen), oder ob "\(\arctan\) mit nochwas" benötigt wird. Hier werden oft Fehler gemacht, weil ohne zu überlegen einfach nur \(\arctan\) genommen wird. Eine Skizze verhindert das.

Natürlich gibt es eine Formel, die will aber keiner auswendig lernen. Mit Skizze muss man hier nichts auswendig lernen.

Schau, dass Du erstmal den einfachen Fall verstehst.

Für die Polarform brauchst Du Betrag und Winkel, die hast Du. Wie lautet nun \(z_1\) in Polarform? Zu rechnen ist da nichts mehr.

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Aber bei z1 ist es ja nur arctan ohne etwas, weil wir im positiven Bereich sind? Bei z2 müssten wir noch was dazu nehmen

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Nochmal: Du hast Winkel und Betrag, mit arctan hast Du jetzt nichts mehr zu tun. Und \(z_2\) kommt dran, wenn \(z_1\) verstanden ist. Alles im Video https://www.hm-kompakt.de/video?watch=216

bei ca. Min. 3:30.

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Ich habe es mir angeguckt, also y berechnet man, r*cosy + r*siny*j, aber wie berechne ich das ohne Taschenrechner und woher weiß ich, was y ist

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Die Polarform ist \(r\cdot e^{j\varphi}\), es ist nur einzusetzen, also \(z_1=?\).

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Nur weiß ich nicht, was ich bei phi angeben soll

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Vielleicht das, was Du oben als \(\varphi\) ausgerechnet hast?

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hab das jetzt so:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} z_{1}:-1\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \\ \varphi=\tan ^{-1} \\ z_{1}=2 \cdot e^{\frac{\pi}{j^{j}}} \end{array} \)

Polarform: \( 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6}+2 \cdot \sin \frac{\pi}{6} \cdot j \)

aber bei z2 komme ich nicht klar

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Es ist schon ein ellenlanger Dialog. Beherzige doch die Tipps. Ich hab Dir gesagt, was die Polarform ist, Du schreibst was anderes dafür hin. So gibt es nur Fortschritt im Schneckentempo.

Zu \(z_2\): Skizze hast Du gemacht, Vorgehen ist wie bei \(z_1\). \(r\) hast Du schon (lass \(\sqrt{12}\) so stehen), nun rechne den Winkel aus, mithilfe der Skizze.

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Z1 und z2 hab ich jetzt so:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left|z_{2}\right|= \\ z_{1}: \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \\ z_{1}=2 \cdot e^{\frac{\pi}{6} j} \\ z_{2}:=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{3+9}=- \\ \varphi=\tan ^{-1}\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right) \\ \varphi=2 \pi-\left(\tan ^{-1}\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right)\right) \\ z_{2}=\sqrt{12} \cdot e^{\left(2 \pi-\left(\tan ^{-1}\left(\frac{-3}{3}\right)\right)\right) \cdot j}\end{array} \)

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\(\varphi=\arctan (-\frac3{\sqrt3})\) ist schonmal gut und richtig.

\(2\pi-...\) ist falsch, zeichne den Winkel in die Skizze ein, dann solltest Du sehen, dass das nicht stimmt.

Nächste Schritte:

1. kürze den Bruch

2. vergleiche dieses Dreieck (das für \(z_2\)) mit dem für \(z_1\). Damit solltest Du den Winkel für \(z_2\) ausrechnen können, ganz ohne \(\arctan\), nur mit Schulgeometrie und dem bereits bekannten Winkel für \(z_1\).

Answer 1

Einiges hast Du nun ja schon verstanden.

Gute Erklärungen und saubere Darstellung, auch mit Beispielen, findest Du in den Videos von Georg Hoever: https://www.hm-kompakt.de/2

Comments

und welches Video würde zu b.) helfen? er erklärt ja nur wie man von der komplexen zahl in die polarform kommt

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Genau das sollst Du ja mit \(z_1\) und \(z_2\) machen.

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Oki ich Schicks dir danach, danke