Da gibt es sicher interessante Lösungswege.
Die Lösungswege sind IMHO gar nicht so interessant. Viel interessanter ist die Tatsache, dass der Ansatz die beiden Kreisbögen auf die Länge \(a\) zu setzen, auf eine quadratische Gleichung führt. $$r(2\pi-\varphi)=a \space \land \space (r+a)\varphi = a\\ \implies \varphi^2 -2\left(\pi + 1\right)\varphi + 2\pi = 0$$(\(\varphi\) sei der gesuchte Winkel und \(r\) soll der Radius des 'Kopfes' vom Engel sein)
Und eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben, was auch hier der Fall ist. Man erhält die beiden Lösungen$$ \varphi_1 \approx 48,4°, \quad \varphi_2 \approx 426,2° $$Und die Frage, die ich mir stelle, ist: wie sieht die Figur mit \(\varphi_2\) aus? Ich habe 'ne Weile gebraucht, bis ich zu dieser Zeichnung gekommen bin:
der Kreisbogen oben links ist immer noch der 'Kopf' des Engels und unten rechts der Kreis ist der 'Saum'. Nur dass das lila eingefärbte Stück doppelt zählt, so kommt man auf den Winkel von über 360°. Der Radius und Öffnungswinkel \(2\pi - \varphi_2\) des Kreisbogen am 'Kopf' sind beide negativ.
Somit sind der Kreisbogen oben links und auch der Umfang des Kreises unten rechts plus das lilane Stück genauso lang wie die beiden Schenkel. Und weil in den vier Ecken die Winkel immer noch 90° betragen, haben wir wieder ein "Quadrat"! ;-)
