Ein nützlicher Fakt:
1. Eine unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu \((\mathbb{Z},+)\), indem man einen Alleinerzeuger wählt und diesen auf \(1\) schickt.
In dem Sinne erstmal die Hinrichtung abhaken: Es reicht wegen Fakt 1 zu zeigen, dass \(G=(\mathbb{Z},+)\) diese Eigenschaft hat. Die nichttrivialen Untergruppen von \(G\) sind die Mengen \(k\mathbb{Z}=\left\{kz|z\in\mathbb{Z}\right\}\) für \(k\neq 0\) [Dieser Fakt ist im Prinzip der chinesische Restsatz]. Der Isomorphismus \(\varphi_k:\mathbb{Z}\to k\mathbb{Z}\) gegeben durch Multiplikation mit \(k\), also \(\varphi_k(z)=kz\), ist leicht zu überprüfen.
Die Rückrichtung: Sei \(G\) eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass jede nichttriviale Untergruppe von \(G\) isomorph zu \(G\) ist. Wir wollen zeigen, dass \(G\) dann zyklisch ist. (Bemerke, dass wir die Unendlichkeit hier gar nicht brauchen!)
Sei \(g\neq e\) ein beliebiges nichttriviales Element von \(G\). Dann ist die von \(g\) erzeugte nichttriviale Untergruppe \(\langle g\rangle\) isomorph zu \(G\), sei also \(\varphi:\langle g\rangle\to G\) ein solcher Isomorphismus. Da Isomorphismen Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme schicken, ist \(\varphi(g)\) ein Alleinerzeuger von \(G\) und damit \(G\) zyklisch.
Folgefrage: Was sind denn alle endlichen Gruppen, die die gefragte Eigenschaft haben? Du weißt schon, dass sie zyklisch sein müssen, aber welche sind es?
