Lagrange verfahren mit Nutzenfunktion

Question

Hallo alle zusammen,


ich bin hier bei einer Übungsaufgabe hängen geblieben. Und zwar habe ich zwei Preise, ein Budget  und eine Nutzenfunktion und muss jetzt mithilfe des Lagrangeverfahrens den Nutzenmaximum und Grenzwert berechnen. So und jetzt weiß ich, dass bei der Nutzenfunktion die Zielfunktion ist während es bei der Kostenfunktion die Nebenbedingung ist.


Aufgabe:

U= 5*wurzel aus r1 + 3*wurzel aus r2

p1= 20

p2= 6

budget= 308

1. Zielfunktion ist U= 5r1^0,5+3r2^0,3

2. Nebenbedingung 308=20r1+6r2

3. Lagrangefunktion L=5r1^0,5+3r2^0,3+lambda(308-20r1+6r2)


Ich komme aber nicht weiter, da ich partiell einfach nicht ableiten kann und beim umstellen nach Lambda eine Variable fehlt und das sollte ja nicht sein... Aber da Das nur mit einem Plus verknüpft ist fällt die andere Variable beim partiellen Ableitung einfach weg. ... Wie mache ich das?

Comments

Nur eine Frage. Wie kommst du von

U= 5*wurzel aus r1 + 3*wurzel aus r2

1. Zielfunktion ist U= 5r1^0,5+3r2^0,3

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Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie ch da vorgehen muss, aber es gab eine andere Aufgabe die  5*wurzel as r1r2 war und daraus hatte der Professor 5r1^0,5*r2^0,5 gemacht

Answer 1

Also: Wenn dort steht

U = 5·√(r1) + 3·√(r2) 

dann ist das 

U = 5·(r1)^{0.5} + 3·(r2)^{0.5}

Es gilt √a = a^0.5

Comments

Oh. Dann habe ich das wohl falsch. Hm. Danke vielmals für den Hinweis! Wie leite ich das Ganze dann ab? Da ja ein plus dazwischen ist fällt eine Variable beim partiellen Ableiten ja immer weg, richtig? Aber wenn ich das dann später nach lambda umstelle muss doch immer eine Variable in Abhängigkeit von der anderen stehen.... Aber wie ist das wenn mir eine fehlt?

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Schau mal unter
https://www.mathelounge.de/109351/die-lagrange-methode-unklare-nebenbedingung

dort habe ich das mal allgemein nur mit Unbekannten gelöst.
Ich habe aber gemerkt das dort ein Fehler drin ist. Da sollte bei der Lagrange Funktion in der Klammer - i stehen. Das macht aber nichts weil die Ableitung von i genauso wegfällt.

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Hey super danke! Ich habe das jetzt mt dem ableiten kapiert denke ich. Aber ich habe immer noch die Frage wegen der Variable die rausfällt. Wenn ich im nächsten Schritt römisch eins und zwei nach Lambda umstelle fehlt eine Variable, die ich in Abhängigkeit der bestehenden ausdrücke.... :/

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Nehmen wir mal

L = 5·r^0.5 + 3·s^0.5 + λ·(308 - 20·r - 6·s)

Partielle Ableitungen

2.5·r^{-0.5} - 20·λ = 0
λ = 1/(8·√r)

1.5·s^{-0.5} - 6·λ = 0
λ = 1/(4·√s)

1/(8·√r) = 1/(4·√s)
s = 4·r

Damit gehen wir jetzt in Die Nebenbedingung

20·r + 6·s = 308
20·r + 6·(4·r) = 308
r = 7

s = 4·r = 4·7 = 28

Das solltest du jetzt eventuell noch prüfen.

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Sieht aber ganz gut aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B5+Sqrt%5Br%5D+%2B+3+Sqrt%5Bs%5D%2C+20+r+%2B+6+s+%3D%3D+308%7D%2C+%7Br%2C+s%7D%5D

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Also deine Variante wird mir klar aber wenn ich es so mache wie wir es gelernt haben bin ich wieder verzweifelt.
Also


1. Zielfkt: u=5r^0,5+3s^0,5

2. Nebenbedingung ist 308=20r+6s

Diese null gesetzt ist 0=308-20r-6s

3. Lagrangefkt ist 5r^0,5+3s^0,5+Lambda(308-20r-6s)

4. dann partielle Ableitungen

I nach r ist 2,5r^-0,5-20lambda

II nach s ist 1,5^-0,5-6lambda

III nach lambda ist 308-20r-6s

5. I und II nach lambda umstellen
I 2,5r^-0,5-20lambda=0  |+20lambda |:20

  2,5r^-0,5/20=Lambda
??? Ab 5. weiß ich nicht wie das gehen soll. Ich sollte es in diesen Schritten machen und mir fehlt eben dir andere variable...

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Das macht doch nichts das die fehlt. Die fehlt doch bei mir genauso. Ich habe es doch genau so gemacht wie ihr in der Schule. Schau doch bei mir oben. Da habe ich die partiellen Ableitungen doch auch nach Lambda aufgelöst.

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Achso! Ich wusste nicht, dass das egal ist! Danke vielmals! Übrigens: r^-0,5 wird nur zu Wurzel r weil es negativ ist, oder? Oder würde dasselbe mit r^0,5 passieren zum Beispiel?

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a^0.5 = √a

a^{-0.5} = 1/√a

Bitte eventuell nochmal die Potenzgesetzte zum Umformen von Brüchen und Wurzeln ansehen.

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Omg! !!

und bei a^0,3 oder a^-0,3? Nur zum Verständnis 0,5 war jetzt eine schlechte Zahl.

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Und nochmal eine andere Frage. Wie kommst du genau auf s=4r? Ich liiere da r=2s raus

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1/(8·√r) = 1/(4·√s)

8·√r = 4·√s

64·r = 16·s

s = 4·r

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a^0.3 = a^{3/10} = ¹⁰√(a^3)

Also 10. Wurzel aus a hoch 3

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Wieso denn 64 und 16? D:

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Meinst du die Zahlen werden nicht quadriert, wenn man die Wurzeln weghaben will ?

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Aber das ist noch nur so, weil die Variable in de Wurzel steht? Ich hätte einfach die achte Wurzel gezogen..? Irgendwie verstehe ich den Gedankengang nicht warum das quadriert wird :/

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Also heute würde das aufgelöst und da blieb 2,5/20r^0,5 stehen (statt 1/8*wurzel aus r) sodass dann quadriert worden ist. Da ist mir auch klar warum bei ^0,5 quadriert wird, aber nicht wenn die Wurzel da ist...

Ich hatte für den Grenzwert auch eine falsche Zahl rausbekommen, da ich eben unten im Nenner die Wurzel stehen gelassen hatte und dann beim rechnen verwirrt war. Wie gehe ich vor, wenn ich 1/8*wurzel aus 7 rechnen will? Was rechne ich zuerst? :/

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Du rechnest Wurzel aus 7 zuerst.

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Oh man ich habe vergessen den Zähler durch das zu teilen, dann wäre ich aufs selbe Ergebnis gekommen. :/

danke!


aber kannst du mir das nochmal mir dem quadrieren erklären? Was passiert bei wurzeln aus einer Variablen oder einer Zahl oder bei beliebigen Hochzahlen?

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(2*a^{5/8})^2 = (2)^2 * (a^{5/8})^2 = 4 * a^{10/8} = 4 * a^{5/4}

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Das meinte ich nicht. Ich meine zB
x = 3*wurzel aus y

x = 5y^0,3

was mache ich um die Wurzel im ersten Beispiel oder die hochzahl im zweiten Beispiel loszuwerden?

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x = 3·√y = 3·y^0.5

y^0.5 = x/3

y = (x/3)^2 = x^2/9

 

x = 5·y^0.3

y^0.3 = x/5

y^{3/10} = x/5

y = (x/5)^{10/3}