Maßtheorie Funktionen auf Nullmenge nicht wohldefiniert?

Question

Sei \( (X, \mathcal{M}, \mu) \) ein Maßraum. Die Menge aller integrierbaren Funktionen \( f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \) ist ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) und das Integral ist ein lineares Funktional, also eine Abbildung von \( X \) in den Skalarkörper \( \mathbb{R} \).

Meine Frage ist: Es kann ja sein das eine Funktion f für ein x aus einer Nullmenge den wert unendlich annimmt, wenn ich nun zwei solcher integrierbarer funktionen f und g habe die bei x unendlich annehmen, dann ist ja f - g natürlich integrierbar aber f - g ist an der stelle x nicht wohldefiniert oder was passiert da? also lässt man es zu, dass funktionen auf einer nullmenge nicht definiert sein müssen?

Comments

Die Menge aller integrierbaren Funktionen \( f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \) ist ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) ...

Und wie sind auf diesem Vektorraum Addition und skalare Multiplikation definiert?

Die punktweisen Definitionen

        \(f+g:\ x\mapsto f(x) + g(x)\)

und

        \(\alpha\cdot f:\ x\mapsto \alpha\cdot f(x)\)

versagen nämlich aus dem von dir genannten Grund.

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MEIN FEHLER, der Autor meinte nicht die erweiterten reellen Zahlen sondern einfach nur f: X nach R

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Damit hat sich Deine Frage aber erledigt, oder?

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ja positiv ja

Answer 1

Hallo warmertee123,

ich stimme deinen Einwänden voll zu. Um einen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum zu erhalten, müssten wir u.a. erst einmal eine Addition auf der ganzen Menge definieren. Ich sehe nicht, wie das in naheliegenderweise möglich sein soll, so dass ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum entsteht.

Als Abhilfe fallen mir zwei Alternativen ein:

1. Man betrachtet die integrierbaren Funktionen \(X\to\mathbb{R}\) statt \(X\to\overline{\mathbb{R}}\).

2. Man geht über zur Menge aller Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation "Übereinstimmung fast überall" auf der Menge aller integrierbaren Funktionen \(X\to\overline{\mathbb{R}}\). Darauf kann man eine Addition und skalare Multiplikation definieren, so dass ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum entsteht.

Viele Grüße, Tobias