Drei Türen, ein Auto.

Question

Anna und Bert haben die letzte Runde einer Spielshow erreicht, in der Sie ein Auto gewinnen können. Dafür stehen sie vor drei verschlossenen Türen, die mit 1, 2 und 3 beschriftet sind. Hinter einer dieser Türen ist das Auto, hinter einer anderen ein Autoschlüssel und hinter einer weiteren eine Niete. Nun darf zuerst Anna zwei Türen öffnen. Findet sie dabei das Auto, ist als nächstes Bert an der Reihe, sonst haben die beiden schon verloren. Hat Anna das Auto gefunden, werden die Türen wieder verschlossen und Bert darf (ohne mit Anna zu kommunizieren) ebenfalls zwei Türen öffnen. Findet er nun den Autoschlüssel, so haben die beiden gewonnen.

a) Würden beide nun jeweils zwei zufällig ausgewählte Türen öffnen, so wäre die Gewinnwahrscheinlichkeit 4/9. Weisen Sie das unter Angabe eines geeigneten Modells nach.

b) Es gibt aber eine Strategie, mit der die beiden mit Wahrscheinlichkeit 2/3 gewinnen. Finden Sie sie und beweisen Sie, dass sie wirklich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 haben.

Problem/Ansatz:

Komme bei der b) nicht weiter, kann da keinen klaren Gedanken fassen...Hilfe bitte!

Comments

Ich sehe keine Gewinnchance von 2/3. Ich komme auf eine maximale Gewinnchance von 1/2, was aber immerhin besser als 4/9 ist.

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Die 1/2 habe ich auch schon gefunden, aber die Aufgabenstellung verlangt ja die 2/3...

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Der erste Schritt hat doch eine W von2/3. Wenn dann insgesamt die W gleich 2/3 sein soll, müsste der 2. Schritt mit W=1 erfolgreich sein, also sicher.

Ich sehe auch nur 1/2 als Möglichkeit.

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Aus welchen Zeitraum bezieht sich 'ohne mit Anna zu kommunizieren'? Gilt das zwischen den Versuchen von Anna und Bert oder auch schon vor dem Experiment?

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ich vermute das bezieht sich auf zwischen den Versuchen

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Auch ich gehe davon aus, dass eine Strategie im Vorfeld besprochen werden kann. Wenn nichts besprochen werden darf, können beide ja nur zufällig Türen öffnen und dann ist die WK 4/9.

Und wir gehen mal davon aus das Bert nicht mitbekommt welche Türen Anna wählt und was sich dahinter befindet :)

Answer 1

Es kommt ein bisschen darauf an, wie das Spiel konkret abläuft. Bert ist offenbar nicht dabei, wenn Anna ihre Türen öffnet. Das wäre ja witzlos. Aber ist Anna dabei, wenn Bert seine Türen öffnet? Falls ja, muss Anna nur dafür sorgen, dass Bert mit Sicherheit den Schlüssel findet. Das tut er, wenn er weiß, hinter welcher Türe sich das Auto befindet (andernfalls haben sie ja eh schon verloren).

Man kann also vor dem Spiel einfach vereinbaren, dass Anna die Türen 1 und 2 öffnet. Befindet sich das Auto hinter Tür 1, stellt sie sich links von Bert, befindet sich das Auto in Tür 2, stellt sie sich rechts von Bert. Bert weiß nun, welche Türe er nicht öffnen muss und findet so mit Sicherheit den Schlüssel.

Eine andere Möglichkeit sehe ich hier tatsächlich auch nicht. Eine derartige Strategie muss im Vorfeld besprochen werden.

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Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit und die sieht wie folgt aus:

Anna öffnet die Türen 1 und 2, Bert anschließend 2 und 1, außer Anna und Bert finden hinter der jeweils ersten geöffneten Türe die Niete, dann öffnen sie Tür 3 als zweites.

Wenn man dieses Schema auf alle sechs möglichen Anordnungen durchspielt gewinnen Anna und Bert in 4 von 6 Fällen und daraus ergibt sich dann die Gewinnchance von 2/3.

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Das setzt also voraus, dass die Türen nacheinander geöffnet werden. Ich bin jetzt vom gleichzeitigen Öffnen ausgegangen. Sprich, man entscheidet sich vorher für zwei Türen. Aber das ist natürlich klug, denn sobald die ersten geöffneten Türe die Niete ist, ist ja klar, dass in der dritten Türe der Schlüssel oder das Auto ist. Ist in der ersten geöffneten Türe keine Niete, muss sie hinter Tür 3 sein. Da aber niemand dann Tür 3 öffnen, wurden Auto und Schlüssel gefunden.

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Befindet sich das Auto hinter Tür 1, stellt sie sich links von Bert, befindet sich das Auto in Tür 2, stellt sie sich rechts von Bert.

Das wäre eine nonverbale Kommunikation und ist nicht erlaubt.

Aber ich gratuliere iToXiiC zu der gefundenen Strategie. Unglaublich, wie geschickt man doch vorgehen kann.

Answer 2

Sieht Bert zumindest (ohne den Inhalt)welche Türen Ana geöffnet hat? Dann sollte er auf jeden Fall die noch nicht geöffnete öffnen! Denn wenn es weitergeht, hatte Anna das Auto. Das brauch Bert aber nicht mehr und deswegen wäre eine von den beiden schon geöffneten Türen Verschwendung! Daher auf jeden Fall die ungeöffnete, um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen.

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Das wird er vermutlich nicht wissen. Ansonsten könnte man sich die zweite Runde ja sparen...