Aufgabe:
Berechnen Sie für folgende Funktion
(1) die Taylorentwicklung um den Entwicklungspunkt x_0 = 1 inklusive des Beweis der Formel für die n.te Ableitung.
(2) den Konvergnzradius der berechnenetn Taylorreihe und überprüfen Sie die Ränder des Konvergenzbereichs auf Konvergenz.
f(x)=xln(x+1)
! Beachten Sie, dass die Überprüfung, ob und wenn wo die Reihe gegen den Funktionswert konvergiert nicht teil der Aufgabe ist.
Problem/Ansatz:
(1)
Ich habe die Ableitungen gebildet und ein Muster ab der 2.Ableitung gesehen
für die n-te Ableitung habe ich (-1)^n ( (n-2)! / (x+1)^(n-1) + (n-1)! / (x+1)^n )
diese habe ich mittels vollständiger Induktion auch bewiesen.
(2)
daraus habe ich dann die Tayloreihe gemacht mit x_0 = 1
2ln(2) + 0,5 + Summe von k=2 bis n ( (-1)^k ( (k-2)! / (2)^(k-1) + (k-1)! / (2)^k ) )
mein a_k ist dann ja ( (k-2)! / (2)^(k-1) + (k-1)! / (2)^k )
wenn ich jetzt den limes mit zB dem Quotientenkriterium mache, bekomme ich für mein Konvergenzradius auf 0.
Dies ergibt für mich keinen Sinn, da es ein Radius ist sollte er > 0 sein.
Wo liegt(liegen) meine Fehler?
