Berechnung Flächeninhalt des Dreiecks, Tangentengleichung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

18 Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-c x^{\hat{}}(c>0) \). Der Graph von \( f \) schneidet die \( x \)-Achse außer im Ursprung \( O(0 \mid 0) \) noch im Punkt \( A(a \mid 0) \). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OBA, wobei B der Schnittpunkt der Tangenten an den Graphen von f in O und A ist. Für welches c ist das Dreieck OBA rechtwinklig?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Flächeninhalt= \( \qquad \)
\( \frac{a \cdot\left(\frac{1}{1 c} a^{2}-\frac{1}{2} a c\right)}{2}=\frac{\frac{1}{16} a^{3}-\frac{1}{2} a^{2} c}{2} \)
\( =\frac{1}{32} a^{3}-\frac{1}{4} a^{2} c \)
\( \begin{array}{l} t_{1}=t_{2} \\ c_{i} \dot{y} f(x) \end{array} \)
\( \begin{aligned} t_{1} & =f^{\prime}(x) \cdot\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) & & \\ & =f^{\prime}(0) \cdot(x-0)+0 & & f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x-c \\ & =\frac{1}{2} \cdot 0-c \cdot x & & f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-c x \\ & =-c \cdot x & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} t_{2} & =f^{\prime}(a) \cdot(x-a)+f(a) \\ & =\left(\frac{a}{2}-c\right) \cdot(x-a)+\left(\frac{1}{4} a^{2}-c a\right) \\ & =\frac{a x}{2}-c x-\frac{1 a^{2}}{2}+c a+\frac{1}{4} a^{2}-c a \\ & =\frac{1}{2} a x-c x-\frac{1}{4} a^{2} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} t_{1} & =t_{2} \\ -c x & \left.=\frac{1}{2} a x-c x-\frac{1}{4} a^{2} \quad \right\rvert\,+c x \\ 0 & =\frac{1}{2} a x-\frac{1}{4} a^{2} \\ \frac{1}{2} a x & =\frac{1}{4} a^{2} \\ x & =\frac{1}{2} a \\ f\left(\frac{1}{2} a\right)= & |\cdot 2| \cdot \frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{2} a\right)^{2}-c \cdot\left(\frac{1}{2} a\right) \\ = & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} a^{2}-\frac{1}{2} a c \\ = & \frac{1}{16} a^{2}-\frac{1}{2} a c \end{aligned} \)

Das in grünunterstrichene ist meine Lösung.

Zunächst habe ich die Formeln für die beiden Tangenten ausgerechnet und danach hab ich beide gleichgesetzt. Als ich meine x-Koordinate hatte, habe ich sie in die Funktion eingesetzt und hatte dann auch meine y-Koordinate. Die letztige Frage fällt mir jedoch schwer.

Mein c ist -1.

durch diese Rechnung ist mein Winkel am Ursprung 45°, jedoch kann ich dadurch nicht sicherstelllen, dass mein Winkel bei a auch 45° beträgt, oder?

Ich hoffe darauf, eine Antwort zu finden, die mir sagt ob ich richtig gerechnet habe oder nicht. Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25·x^2 - c·x (c > 0). Der Graph von f schneidet die x-Achse außer im Ursprung O(0 | 0) noch im Punkt A(a | 0).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OBA, wobei B der Schnittpunkt der Tangenten an den Graphen von f in O und A ist.

Nullstellen
f(x) = 0.25·x^2 - c·x = 0 → x = 0 ∨ x = 4·c

Ableitung
f'(x) = 0.5·x - c

Tangenten bei x = 0 und x = 4·c
t1(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0) = - c·x
t2(x) = f'(4·c)·(x - 4·c) + f(4·c) = c·x - 4·c^2

Schnittpunkt
t1(x) = t2(x) → x = 2·c
t1(2·c) = - 2·c^2 → B(2·c | - 2·c^2)

Fläche
A = 1/2 · (4·c) · (2·c^2) = 4·c^3


b) Für welches c ist das Dreieck OBA rechtwinklig?

m1 · m2 = - c · c = -1 → c = 1

Answer 2

Mein c ist -1.

Laut Aufgabenstellung ist c > 0.

Stattdessen ist das Dreieck rechtwinklig, wenn für die Steigung \(m\) der Tangente bei 0 gilt:

        \(m = \tan(-45°)\),

also

        \(f'(0) = \tan(-45°)\).

jedoch kann ich dadurch nicht sicherstelllen, dass mein Winkel bei a auch 45° beträgt, oder?

Doch, kannst du. \(f\) ist achsensymmetrisch bezüglich der Vertikalen durch den Scheitelpunkt.

Answer 3

Die Funktion die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-c x   \) hat die Nullstelen 0 und 4c.

Damit gilt a=4c.

Verbanne also a aus allen folgenden Rechnungen und verwende 4c statt a.

Zwei Geraden mit den Anstiegen m₁ und m₂ stehen aufeinander senkrecht, wenn m₁ * m₂ = -1 gilt.

Wende das auf die Anstiege deiner beiden Tangenten an.

Answer 4

f(x) = 0

1/4*x^2-cx= 0

x*(1/4*x-c) =0

x= 0 v x= 4c

Schnittpunkte: O(0/0), A(4c/0)

B ermitteln:

t1= mx+b

m= f '(0)

f '(x) =1/2x-c

f '(0) = -c

b bestimmen:

0 = -c*0+b

b= 0

t1(x) = -cx

t2(x) = mx+b

m= f '(4c) = 1/2*(4c) -c = c

0= c*4c+b

b= -4c^2

t2(x) = cx -4c^2

Schnittpunkt:

-cx = cx-4c^2

-2cx= -4c^2

x= 2c

...