unendlich verschachtelte Wurzel

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle x= \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+ \dots }}} \)

Problem/Ansatz:

Meine Tochter, die nach der Matur kaum noch mit Mathematik zu tun hat (es wird in Ihrem Studium nur noch die Anwendung von statistischen Tests verlangt), hat mich zu Weihnachten mit dieser Aufgabe überrascht. Die Lösung ist klar, ich frage mich einfach ob ein durchschnittlicher Gymnasiast das lösen kann.

Man könnte der Klasse auch so etwas vorsetzen:

\(\displaystyle x= \sqrt{2024+2\cdot \sqrt{2024+2 \cdot \sqrt{2024+ \dots }}} \)

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Zum neuen Jahr passt dann

\(\displaystyle x=1980+ \sqrt{1980+\sqrt{1980+\sqrt{1980+ \dots }}} \)

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Sehr schön, sehr schön

Answer 1

Der durchschnittliche Abiturient könnte noch nicht ein mal die Gleichung \(x = \sqrt{6+x}\) lösen.

Comments

Der Herr Sohn (ohne Gymnasium, aber mit eindrücklichen IT-Projekten) hat verkündet, das würde er im Handumdrehen mit rekursiver Programmierung lösen, und uns verboten, irgendwelche Hinweise zu geben. Das war vor 30 Stunden. Ich kann nur hoffen, dass die Schweigertochter bei seinem Rechner den Stecker gezogen hat.

(Die zweite Aufgabe habe ich abgewandelt von hier.)

Answer 2

Ja. Mathematik ist ja rein eine Erkennung von Mustern. Also erkennt ein Gymnasiast, dass die Wurzel die gefragt ist selber nochmal unter der Wurzel auftritt.

Daher kann er dort auch x einsetzen.

x = √(2024 + 2·x)

Ein Probieren durch Einsetzen oder ein Auflösen nach x ergibt dann die Lösung.

Und selbst ein Gymnasiast, der absolut keine Idee hat, könnte bei Youtube auf eine ähnliche Aufgabe stoßen und das Lösungsprinzip auf diese Aufgabe anwenden.

Das Problem ist, dass Gymnasiasten schlau sind und keine Arbeit machen, die nicht unbedingt notwendig ist oder ihnen Spaß macht eben einfach nicht machen.

D.h. bei vielen Aufgaben fehlt die intrinsische Motivation.

Ziel der Mathelehrer sollte es also sein, zuallererst diese intrinsische Motivation zu wecken.

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Müßte man nicht erst mal zeigen, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, um zu zeigen, dass ein Grenzwert der rekursiven Folge (um die es eigentlich hier geht) existiert?

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Was ich sehe, ist eine Gleichung und keine Definition einer Folge.

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Wenn man den Wert ausgerechnet hat, hat man doch auch gezeigt, dass er existiert.

Ich würde ihn hier allerdings nicht als Grenzwert ausrechnen, sondern ebenfalls mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

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Eine Gleichung mit …?? Was mag diese ‚Gleichung‘ für einen Sinn haben? Offensichtlich haben wir es hier mit der ‚Unendlichkeit‘ zu tun, entsprechende Sorgsamkeit ist also geboten.

Und das man einfach unter der Wurzel x einsetzen darf, ist ebenfalls nicht klar. Warum sollte das so sein? Erst wenn man den Ausdruck als rekursive Folge schreibt und versteht und die Konvergenz dieser Folge gezeigt hat, wird klar, warum man das darf.

Und wenn man die Wurzelgleichung (mit x auf beiden Seiten der Gleichung löst, setzt man dabei ja schon bereits voraus, dass der Grenzwert x existiert (und beweist nicht dessen Existenz).

Daher muß man erst die Konvergenz der rekursiven Folge beweisen, eben durch Nachweis der Monotonie und Beschränktheit.

Ich ging davon aus, dass Euch das klar war und Ihr es nur nicht ausdrücklich erwähnt habt. Mir ging es nur darum, dass jemand, der dies liest, versteht, worum es eigentlich geht.

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@jumanji, Du hast völlig recht. Solange die vollständige Aufgabenstellung fehlt, kann man nur spekulieren, was hier unter welcher Voraussetzung getan werden soll. Gut, dass Du das klargestellt hast.

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Ich ging davon aus, dass Euch das klar war und Ihr es nur nicht ausdrücklich erwähnt habt. Mir ging es nur darum, dass jemand, der dies liest, versteht, worum es eigentlich geht.

Diese Sorgfalt vermisst man hier (leider) bei den meisten. Ich würde daher nicht ohne Weiteres voraussetzen, dass den Autoren "das klar ist". Ansonsten habe ich deinen Ausführungen auch nichts hinzuzufügen. :)

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Mathematik ist ja rein eine Erkennung von Mustern.

Was ich sehe, ist eine Gleichung und keine Definition einer Folge.

Etwas Ironie macht das Leben erträglicher.

Answer 3

Um die Aufgabe
(1) $$x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{…}}}}$$
nicht unfertig so ‚im Raum hängen‘ zu lassen, formuliere ich sie mal um und skizziere den Lösungsweg:
Gemeint ist wohl:
Besitzt die durch die folgende Vorschrift gegebene, rekursive Folge
(2) $$x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$$
n ∈ ℕ, einen Grenzwert für n → ∞ und wenn ja, wie lautet dieser?

Durch Einsetzen von x₁ = 0 ergibt sich x₂ = \( \sqrt{6} \)  
usw. überzeugt man sich davon, dass (2) der Vorschrift (1) entspricht.

Zum Beweis muß man nun erst zeigen, dass der Grenzwert existiert.
Dazu nutzt man den Satz von Bolzano-Weierstraß, nachdem monoton steigende und nach oben beschränkte Folgen konvergent sind (analog monoton fallend und nach unten beschränkt).

Zu zeigen, dass die Folge monoton steigernd ist, also x_n+1 ≥ x_n für alle n ∈ ℕ gilt, ist leicht getan und spare ich mir hier.
Ebenso, das die Folge nach oben durch z.B. 3 beschränkt ist, also das gilt:
x_n≤ 3 für alle n ∈ ℕ.

Somit folgt insgesamt die Konvergenz der Folge (x_n) gegen einen Grenzwert x.

Daher dürfen wir nun in der Vorschrift (2) oben auf beiden Seiten den Grenzwert bilden und da, wie wir gezeigt haben, sowohl x_n+1 als auch x_n gegen x konvergieren, erhalten wir die Wurzel-Gleichung (3)
x = \( \sqrt{6+x} \)
mit den Lösungen x_I = 3 und x_II = -2.
Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, sind die gefundenen Lösungen durch Einsetzen in (3) zu überprüfen. x_II entfällt offensichtlich, x_I = 3 ist also die einzige Lösung.


Wer mag, kann ja mal überlegen, was mit der leicht veränderten Aufgabe:
$$x = \sqrt{6-\sqrt{6+\sqrt{6-\sqrt{…}}}}$$
wäre (die analog wie oben als Grenzwert einer rekursiv definierten Folge zu interpretieren wäre).

Comments

mit den Lösungen x_I = 3 und x_II = -2.

Es gibt nur eine Lösung.