Zerfallsgesetz bei Funktion

Question

Hei :)

ich komme bei c) und d) bei einem Beispiel nicht weiter.

Ich habe folgende Funktion: K(t) = 8*e^{-0,112*t}

c) Ich soll heruasfinden, wann K(t) = 3,9 und 5,5 ist. Komme aber mit der Umformung nicht klar.

d) Hier hab ich eine neue Funktion: K(t) = K₀ * e^{-0,15*x}

Die Frage: Wann ist hier nur mehr 40 % der anfänglichen Konzentration feststellbar?

Wie soll ich das jedoch ohne Wrt für K₀ berechnen?

Answer 1

c)

3,9 = 8 * e ^{-0,112 * t}

<=> 3,9 / 8 = e ^{-0,112 * t}

Nun auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden:

<=> ln ( 3,9 / 8 ) = ln ( e ^{-0,112 * t}  )

Da ln (x ) die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt: ln ( e ^x  ) = x, also:

<=> ln ( 3,9 / 8 ) = - 0,112 * t

<=> t = ln ( 3,9 / 8 ) / - 0,112 ≈ 6,414866

 

Genau so geht es auch mit 5,5 statt 3,9

 

d)

K(t) = K₀ * e ^{- 0,15 * x}

(Anmerkung: statt x muss im Exponenten t stehen.)

Wann ist hier nur mehr 40 % der anfänglichen Konzentration feststellbar?
 

Wie soll ich das jedoch ohne Wrt für K₀ berechnen?

Nun, die Lösung hängt nicht von dem Wert von K₀ ab! Deshalb brauchst du ihn nicht zu kennen. Egal, wie groß der Wert von K₀ ist, 40 % der anfänglichen Konzentratin werden immer nach derselben Zeitspanne t erreicht!

Das siehst du gut in folgender Berechnung:

K( t ) = K₀ * e ^{- 0,15 * t}

Gefragt ist nun nach dem Zeitraum t, nach dem nur noch 40 % der ursprünglichen Konzentration vorhanden ist, nach dem also gilt:

K ( t ) = 0,4 * K₀

Setzt man nun 0,4 * K₀ für K ( t ) in die Formel ein, so erhält man:

0,4 * K₀ = K₀ * e ^{- 0,15 * t}

Beide Seiten  durch K₀ dividieren:

<=> 0,4 = e ^{- 0,15 * t}

Wie du siehst, ist K₀ herausgefallen!

<=> ln ( 0,4 ) = - 0,15 * t

<=> t = ln ( 0,4 ) / - 0,15 ≈ 6,108605

Also:
Nach ungefähr t = 6,1 Perioden (das können z.B. Minuten sein) ist nur noch 40 % der ursprünglichen Konzentration vorhanden ( und zwar unabhängig von der Anfangskonzentration K₀ ).