Wie multipliziere ich komplexe Zahlen miteinander

Question

Aufgabe:

Hallo ich bin bei meiner Mathe Hausaufgabe hängen geblieben. Es geht um komplexe Zahlen. Bei einem Beispiel soll ich die Probe machen, aber da komm ich nicht mehr weiter und beim anderen die Multiplikation und Division machen!

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Probe: \( \quad 9 x^{2}+18 x+34=0 \)
\( \begin{array}{l} 9 \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} i\right)^{2}+18 \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} j\right)+34=0 \\ 9 \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} j\right) \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} ;\right)+18 \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} j\right)+34=0 \\ (-9 \pm 13 j) \cdot\left(-1 \pm \frac{5}{3} i\right)-18 \pm 30 j+34=0 \\ 9 \pm \frac{45}{3} \pm-15 j \pm \frac{75}{3 i}-18 \pm 30 i+54=0 \\ 40 \pm-15 j \pm-\frac{75}{3}=0 \end{array} \)

Answer 1

Die Darstellung einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten hat die Form z = x+iy.

Wenn das ‚i‘ bei einem Ausdruck im Nenner steht, solltest Du es erst in den Zähler bringen und dann erst multiplizieren.

Man bekommt es aus dem Nenner, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitert, hier einfach mit ‚-i‘ bei z₂ 

Answer 2

Das i bei dir im Nenner ist falsch.

\(9x^2+18x+34=0\)

\(x^2+2x=-\frac{34}{9}\)

\(x^2+2x+1=-\frac{34}{9}+1\)

\((x+1)^2=-\frac{25}{9}=\frac{25}{9}i^2  |±\sqrt{~~}\)     weil \(i^2=-1\)

1.)

\(x+1=\frac{5}{3}i \)

\(x_1=-1+\frac{5}{3}i \)

Probe:

\(9\cdot (-1+\frac{5}{3}i)^2+18\cdot(-1+\frac{5}{3}i)+34=0\)

---------------

Einschub:

\((-1+\frac{5}{3}i)^2=1-\frac{10}{3}i+\frac{25}{9}i^2=1-\frac{10}{3}i-\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}-\frac{10}{3}i\)

-----------------

\(9\cdot(-\frac{16}{9}-\frac{10}{3}i )+18\cdot(-1+\frac{5}{3}i)+34=0\)

\(-16-30i -18+30i+34=0\)✓

2.)

\(x+1=-\frac{5}{3}i \)

\(x_2=-1-\frac{5}{3}i \)

Probe hierzu analog wie bei 1.)

Comments

Multiplikation:

\(x_1=-1+\frac{5}{3}i \)         \(x_2=-1-\frac{5}{3}i \)

\((-1+\frac{5}{3}i) \cdot ( -1-\frac{5}{3}i)\)

\(1+\frac{5}{3}i- \frac{5}{3}i  -\frac{25}{9}i^2\)

\(1+\frac{25}{9}=\frac{34}{9}\)

Hier hätte man auch das 3. Binom verwenden können:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Division:

\(x_1=-1+\frac{5}{3}i \)        \(x_2=-1-\frac{5}{3}i \)

\( \frac{-1+\frac{5}{3}i }{-1-\frac{5}{3}i} \) Diesen Term nun erweitern mit  \((1+\frac{5}{3}i) \), weil du damit das i im Nenner wegbekommst.

\( \frac{(-1+\frac{5}{3}i)\cdot (1+\frac{5}{3}i) }{(-1-\frac{5}{3}i)\cdot  (1+\frac{5}{3}i)} \)

\( \frac{  -\frac{34}{9} }{\frac{16}{9}- \frac{10i}{3}} \)

Das i ist nicht im Nenner weg:

Diesen Term nun erweitern mit \(\frac{16}{9}+ \frac{10i}{3}  \), weil du jetzt damit das i im Nenner wegbekommst.

\( \frac{ ( -\frac{34}{9})\cdot (\frac{16}{9}+ \frac{10i}{3}) }{(\frac{16}{9}- \frac{10i}{3})\cdot (\frac{16}{9}+ \frac{10i}{3}) } \)

\( \frac{  -\frac{544}{81}-\frac{340i}{27}}{(\frac{256}{81}+ \frac{160i}{27}-\frac{160i}{27}+\frac{100}{9}) } \)

Nun vereinfachen.

2.Teil:

\(z_1=\frac{2}{3}+2i\)     \(z_2=-2+\frac{1}{i}\)

\(z_1\cdot z_2=(\frac{2}{3}+2i) \cdot (-2+\frac{1}{i})\\=-\frac{4}{3}+\frac{2}{3i}+2\\=\frac{2}{3}+\frac{2}{3i}\)  

-----------------

Einschub:

\(\frac{2}{3i}=\frac{2\cdot 3i   }{3i\cdot 3i}=\frac{6i}{9i^2}=-\frac{2i}{3}\) 

--------------------

\(\frac{2}{3}+\frac{2}{3i}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i\) 

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Diesen Term nun erweitern mit  \((1+\frac53i)\)

Warum das?

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weil du damit das i im Nenner wegbekommst.

Das darf bezweifelt werden.

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Warum so kompliziert? Erweitere doch einfach mit \(-1+\tfrac53\mathrm i\).
Außerdem ist

\(\tfrac2{3i}=\tfrac{2\cdot3i}{3i\cdot3i}=-\tfrac{6i}{9i^2}=\tfrac{2i}3\)

auch falsch.