Aufgabe:
Es geht um Parametertests. Es gibt zwei verschieden Möglichkeiten den Mittelwert zu berechnen, je nachdem ob die Varianz gegeben ist oder nicht.
Meine Frage ist nun. Ich meiner Aufgabe ist die Standardabweichung gegeben. Kann ich dadurch auf die Varianz schließen und mit Weg 1 (bekannte Varianz rechnen)? Oder wurde die Standardabweichung einfach aus den Stichproben ermittelt und ich rechne mit Weg 2 (unbekannte Varianz)? 
Text erkannt:
Aufgabe 49: Nach Angabe des Betreibers einer Kläranlage beträgt die durchschnittliche BSB \( _{5} \)-Abwasserlast \( \mu_{0}=14 \mathrm{gm}^{-3} \). Sie machen an verschiedenen Tagen insgesamt 10 Stichproben und erhalten \( \bar{x}=17 \mathrm{gm}^{-3}, s=4 \mathrm{gm}^{-3} \).
a) Prüfen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5\% die Angaben des Betreibers.
b) Wie sieht es bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von \( 1 \% \) aus?
c) Wegen der Ergebnisse aus a) und b) erhöhen Sie die Stichprobenzahl auf 30 und erhalten \( \bar{x}=16,4 \mathrm{~g} \mathrm{~m}^{-3}, s=3,9 \mathrm{gm}^{-3} \). Kann der Betreiber Sie jetzt von der Richtigkeit seiner Angabe überzeugen?
1) Mittelwert einer Normalverteilung bei bellannter Varianz
TABELLE QUANTILE standardnormalverteilung
- Hypothese: \( \mu=\mu_{0} \)
- Mittelwert: \( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{x_{i}} \quad P(u \leqslant c)=1-\alpha \quad \) (1)
- Berelche \( -\bar{x}-u_{0} P(-C \leq u \leq C)=1-\alpha-(3) \) - wir erhatten \( C \)
- Testvariable: \( \bar{U}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\left(\frac{\text { 䨗 }}{}\right)} \)
- Vergleich: Fall 1: ü liegt im Bereich \( [-c, c] \rightarrow \) Hypothese aluzeptiert Fall 2: ü außerhalb Bereich \( [-c, c] \rightarrow \) Hypothese verworfen
2) Mittelwert einer Normalverterlung bei unbellannter Varianz
TABELLE QUANTLLE \( t \)-Verteilung
- Hypothese: \( \mu=\mu_{0} \)
- Mittelwert: \( \bar{X} \)
- Standardbweichung: \( s=\sqrt{s^{2}} \)
- Freiheitsgrade: \( f=n-1 \quad P(T \leqslant c)=1-\alpha \)
- Bereiche \( \qquad \) \( P(-C \leq T \leq C)=1-\alpha \)
- Testvariable: \( T=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}} \)
- Vergleich (siehe oben)
