Gauß Gleichungssystem mit mod 2

Question

Aufgabe:

Ich sollte bei dieser Aufgabe die Lös(A,b) berechnen.

Es seien \( A \in \mathbb{F}_{2}^{3 \times 4}, \; b \in \mathbb{F}_{2}^{3 \times 1}, \; C \in \mathbb{Q}^{3 \times 4}, \; D \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, \; E \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) gegeben durch

\( A=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right), \; b=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \\\\ C=\left(\begin{array}{llll} -4 & 2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right), \; D=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right), \; E=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich bekomme die Matrux:

1 1 1 1 0

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

Ich weiß leider nicht, wie kann ich ab hier weiter! Kann mit jemand bitte helfen?!

Answer 1

1 1 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 1 0 1

Dritte Zeile

c = 1

Zweite Zeile

b + (1) + d = 0 → b = -1 - d ≡ 1 - d mod 2

Erste Zeile

a + (1 - d) + (1) + d = 0 → a = -2 ≡ 0 mod 2

für d = 0 ergibt sich der Lösungsvektor [0, 1, 1, 0]
für d = 1 ergibt sich der Lösungsvektor [0, 0, 1, 1]

Comments

Warum hast du für d einmal 0 und einmal 1 ausgewählt?

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Außer 0 und 1 gibt es mod 2 nichts anderes!

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1 1 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 1 0 1

⇔

1 0 0 0 0  ⇒   x_1 = 0
0 1 0 1 1  ⇒   x_2 + x_4 = 1
0 0 1 0 1  ⇒   x_3 = 0

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Druckfehler bzgl. x_3?

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Es muss x_3 = 1 heißen.

Answer 2

Weiterrechnen wie üblich. \(x_3\) kannst Du aus der letzten Gleichung ablesen. Dann weiter mit den Gleichungen darüber. Eventuell helfen weitere Umformungen. Probier was aus, es gibt mehrere Wege.

Ich komme am Ende auf zwei Lösungen.

Comments

Ich komme nicht weiter

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Was hast Du probiert? Ich hab Dir die Schritte genannt. Hast Du die Gleichungen hingeschrieben?

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Sollte man hier Rücksubstitution benutzen?

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Hast Du meine Antwort gelesen? Was ist \(x_3\), wie lauten die Gleichungen?