Binomialverteilung: Wie viele Karten muss Paco den vier Assen mindestens hinzufügen?

Question

Aufgabe:

Paco hat aus einem Kartenspiel vier Asse entnommen und will diese durch weitere Karten so ergänzen, dass folgende Bedingung erfüllt ist. Wenn sechs Personen nacheinander verdeckt eine Karte ziehen, soll die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen ein Ass ziehen unter 25 % liegen. Dabei wird nach jedem Zug die gezogene Karte wieder zurück in den Stapel gesteckt und dieser gemischt. Wie viele Karten muss Paco den vier Assen mindestens hinzufügen?

Problem/Ansatz:

X: Anzahl der Personen die ein Ass ziehen

P(2≤X≤6)≤0,25

Das ist leider der einzige Ansatz, den ich habe. Kann mir jemand hier weiterhelfen?

Comments

Ah, er will die 4 Asse ergänzen und nicht den Stapel, aus dem die Asse gezogen wurde.

OK.

Bei mindestens zwei denkt man an das Gegenereignis…

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Dein Kommentar hilft mir leider noch nicht weiter. Ich hätte diesen Ansatz gewählt

X: Anzahl der Personen die ein Ass ziehen

P(2≤X≤6)≤0,25 

P(X≤6)-P(X<2)≤0,25

P(X≤6)-P(X≤1)≤0,25

Aber ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, was mein n ist und was meine Wahrscheinlichkeit p ist

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Was ist denn P(X≤6)?

Mindestens 2 bedeutet 2, 3, 4, 5 oder 6.

Das Gegenereignis hat weniger Fälle: höchstens einer.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ass kannst Du Dir überlegen: 4/(n+4)

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Ok aber da weiß ich dann trotzdem nicht, wie ich das ausrechne.

Dann müsste ja gelten:

1-P(X≤1)≤0,25

P(X≤1)≥0,75

Aber jetzt weiß ich leider immer noch nicht, wie ich das ausrechne

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@ Jumanji: Ich finde, Du hast die Variable n ungünstig gewählt. Im Zusammenhang mit Binomialverteilungen bezeichnet n oft die Anzahl der Ziehungen, hier also 6. Bei Dir ist es die (offene) Gesamtzahl der Karten.

Ich sehe gerade: n ist bei Dir die Zahl der hinzuzunehmendrn Karten

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Ok, wie setzt sich nun P(X≤1) zusammen?

@Mathhilf: Guter Punkt. Also um es konkret zu machen (Laß Dich nicht verwirren Alberto)

Sei M die Anzahl der Karten, die hinzugenommen werden sollen.

Sei n die Anzahl der Ziehungen, also n=6

Dann ist p(Ass wird gezogen) = 4/(M+4)

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Zum Vergleich: ich komme auf M=21 Karten, die hinzu gefügt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit bei 6 Ziehungen mindestens 2 Asse zu erhalten kleiner als 25% ist.

Answer 1

Bekannt ist die Anzahl der Ziehungen \(n=6\), die Anzahl der gezogenen Asse \(X\geq 2\) und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Ereignisses \(P(X\geq 2)<0,25\).

Gesucht ist folglich die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), die das erfüllt. Daraus lässt sich dann die Anzahl der Gesamtkarten ermitteln.

Unter dem Einsatz eines GTR/CAS kann man eine Wertetabelle anlegen oder eine grafische Lösung bestimmen.

Es ergibt sich \(p\approx 0,1611629\). Du kannst dir ja jetzt noch überlegen, wie viele Karten du hinzufügen musst, um diese Wahrscheinlichkeit zu unterschreiten.

Comments

Weiß denn keiner von euch, dass "unter" mit "<" ausgedrückt wird ?

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Die Macht der Gewohnheit. ;) Ist korrigiert, danke.

Answer 2

Sei M die Anzahl der Karten, die hinzugenommen werden.

n = 6 ist die Anzahl der Ziehungen

X gibt die Anzahl der gezogenen Asse an

p(Ass) = 4/(M+4), q=1-p = M/(M+4)

Gefordert: P(2≤X≤6) ≤ 0.25 ⇒ P(X≤1) ≥ 0.75 ⇒

A) P(X=0) + P(X=1) ≥ 0.75

P(X=0) = (M/(M+4))⁶

P(X=1) = 6 *4/(M+4) * ((M/(M+4))⁵

Die nach Einsetzen in A) entstehende (unübersichtliche) Ungleichung löst man mit dem Rechner durch Probieren und erhält M=21 als gesuchte Anzahl.

Answer 3

n = 6 ; q = ? (WK kein Ass zu ziehen)

X: Anzahl der gezogenen Asse

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - (q^6 + 6·(1 - q)·q^5) = 5·q^6 - 6·q^5 + 1 < 0.25 → q > 0.8389

k/(k + 4) ≥ 0.8389 → k ≥ 20.83

Es müssen daher mind. 21 Karten hinzugefügt werden.