Bestimmen Sie drei reelle Zahlen für a so dass das LGS keine, eine, mehrere Lösungen hat

Question

Also die komplette Frage lautet:
Bestimmen sie drei reelle Zahlen für a, so dass das folgende Gleichungssystem eindeutig, mehrdeutig und nicht lösbar is.

ax + y = 1

4x + ay = 2

Wie fängt man da an? Kann man eine Gleichung mit a multiplizieren und dann von der anderen Gleichung subtrahieren?

Answer 1

Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems auf und bringe sie in obere Dreiecksform:

$$\left( { \begin{matrix} a & 1 \\ 4 & a \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} } \right) \Rightarrow \left( { \begin{matrix} a & 1 \\ 0 & { a }^{ 2 }-4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2a-4 \end{matrix} } \right)$$

Aus der letzen Zeile kann man nun auf die Form der Lösungsmenge schließen. Es gilt:

 

1) Unendlich viele Lösungen genau dann, wenn alle Einträge der letzten Zeile der Matrix den Wert 0 haben.

Das ist vorliegend der Fall, wenn gilt:

a ² - 4 = 0 und 2 a - 4 = 0

<=> a ² = 4 und 2 a = 4

<=> ( a = 2 oder a = - 2 ) und a = 2

<=> a = 2

 

2) Keine Lösung  genau dann, wenn alle Einträge der letzten Zeile bis auf den Eintrag ganz rechts den Wert 0 haben.

Das ist vorliegend der Fall, wenn gilt:

a ² - 4 = 0 und 2 a - 4 ≠ 0

<=> a ² = 4 und 2 a ≠ 4

<=> ( a = 2 oder a = - 2 ) und a ≠ 2

<=> a = - 2

 

3) Genau eine Lösung, wenn weder 1 noch 2 vorliegen, wenn also gilt:

a ≠ 2 und a ≠ - 2

Answer 2

Tipp: Löse das lineare Gleichungssystem erstmal nach x am besten mit dem Einsetzverfahren auf .-)

Comments

Hmm das hilft mir nicht weiter..

Könnten sie mir einen Schritt zeigen? Danach ginge es sicher!

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Ich wollte eigentlich nicht gleich die Lösung geben, aber na ja.

Grundsätzlich um überhaupt bei so einer Aufgabe zu Rande zu kommen, sollte man in der Lage sein, lineare Gleichungssysteme zu lösen.

(1) ax + y = 1

(2) 4x + ay = 2

Schritt: Gleichung (1) nach y umstellen und das y in Gleichung (2) einsetzen.

Answer 3

Betrachte den Fall a=0. Hier gibt es genau eine Lösung. Und wir können von nun an a ungleich 0 annehmen. Damit kannst du dann sinnvoll deinen Ansatz verfolgen, es ergibt sich z.B.das LGS ax +y=1 und y(a²-4)=2a-4. Damit ergibt sich für a=-2 keine Lösung und für a=2 unendliche viele.

Answer 4

ax + y = 1

4x + ay = 2

(I) ---> y = 1- ax

einsetzen in (II)

4x + a(1-ax)= 2

4x + a - a^2 x = 2

x(4-a^2) = 2-a               |Falls a≠ ± 2

x = (2-a)/(4-a^2)          |kürzen (3. Binom)

x = 1/(2+a)

y = 1 -ax = 1 - a/(2+a) = (2+a-a)/(2+a) = 2/(2+a)

Fazit: Falls a≠ ± 2 genau eine Lösung.        

Du kannst z.B. a = 1 angeben.

Nun noch die Fälle a=2 und a= -2 separat betrachten.

Fall a=2

2x + y = 1       (I)

4x + 2y = 2    (II)

(II) = 2*(I) daher unendlich viele Lösungen.

Fall a = -2

-2x + y = 1         (I)

4x  - 2y = 2        (II)

-2x + y = 1            (I)
2x - y = 1             (II)'
--------------------------- +
     0=2 → Keine Lösung.

Comments

ax + y = 1

4x + ay = 2

Sobald du mal etwas Theorie kennengelernt hast, weisst du, dass Determinante ≠ 0 bedeutet, dass dein LGS eine eindeutige Lösung hat. Ansonsten keine oder unendlich viele.

Die Determinante ist hier

Det(A) = a*a - 4*1 = a^2 - 4 = (a-2)(a+2)

(a-2)(a+2) = 0 für a = 2 und a = -2 → noch ansehen

a ≠ 2 und a = -2 → genau eine Lösung. z.B. a = 3.